Soluciones (primera parte)

Diego Uribe

Soluciones (primera parte)
por Diego Uribe

La nota de hoy y la de mañana presentan las soluciones a tres acertijos que propuse a lo largo del tiempo. En todos los casos hubo lectores que enviaron respuestas correctas que tal vez pasaron desapercibidas, mimetizadas entre otros comentarios; aquí se las rescata y comenta.

Atardecer de un día asoleado

Percibimos los objetos según la dirección de donde provenga la luz: vemos cráteres en una foto de la Luna, pero si la damos vuelta los cráteres se convierten en montes. Pero la percepción de los relieves tiene algo más, y para descubrirlo basta con resolver un acertijo: ¿qué tiene que ver la mala suerte con la figura de abajo?

Planteo

solución

26 respondió ingeniosa y correctamente que para resolver el acertijo había que dormirse frente al monitor planchando la oreja izquierda contra la mesa. Sin necesidad de dormirse, basta con girar la figura un cuarto de vuelta hacia la derecha.

Solución

Al rotar la figura la iluminación pasa a estar en la parte superior, lo que hace que seamos capaces de percibir a la figura como un todo: lo que antes parecía una colección de círculos sin sentido se transforma en un número 13 en relieve. Este fenómeno fue descubierto hace algunos años por Vilayanur Ramachandran. Una ley de la percepción indica que percibir un conjunto como un todo requiere menos esfuerzo del cerebro. Entonces, parecería ser que nuestro cerebro sólo entra en modo ahorro de energía si las cosas están iluminadas desde arriba.

Soluciones éticas, soluciones tramposas

Hay veces que un acertijo puede responderse correctamente sin resolverlo: sólo se necesita saber que tiene solución.

El siguiente problema está tomado de Nuevos pasatiempos matemáticos, de Martin Gardner. Tres escuelas, Washington, Lincoln y Roosevelt se enfrentan en un campeonato deportivo. Washington ganó el campeonato con 22 puntos; las otras dos escuelas obtuvieron 9 puntos cada una. Lincoln ganó la prueba de tiro al blanco. Se ignora el número total de pruebas. El ganador de una prueba recibió una determinada cantidad de puntos, el segundo una menor y el tercero una cantidad aún menor. Estas cantidades eran números enteros y positivos, pero no se sabe cuáles. Se sabe que hubo una prueba de salto en altura. ¿Quién la ganó?

A pesar de que el acertijo puede resolverse deduciendo cuántas pruebas hubo, cuántas ganó cada equipos y cuántos puntos recibió por ellas, la solución que se busca es un atajo, un razonamiento que resuelva el problema sin tener que reconstruirlo.

solución

Pablo Sussi dio con una solución contundentemente rápida y eficaz. En sus propias palabras: “No hace falta realizar ningun cálculo ya que no se pide averiguar cuántas pruebas fueron, ni cuánto valí-a cada puesto, sino quien ganó la de salto en alto. Como esta prueba es indistinguible de cualquiera otra, la única solución posible es que alguien haya ganado todas las pruebas restantes, y éste obviamente sólo puede ser el ganador de la competencia general. O sea, Washington.”

Si alguien quiere comparar la eficiencia de la respuesta de Pablo con la solución tradicional, aquí va.

• El número de puntos asignado al ganador de cada prueba no puede ser menor que 3, ya que también se asignan puntos al segundo y al tercero.
• Tampoco puede ser mayor que 8, ya que hubo más de dos pruebas y Lincoln, que ganó tiro al blanco, obtuvo 9 puntos.
• No puede ser exactamente 8, ya que en ese caso sólo habría habido dos pruebas, en las que Lincoln sacó 8 puntos por tiro al blanco y 1 punto por la otra prueba. Así, no habría forma de que Washington hubiera sacado puntos.
• El número de puntos asignado al ganador tampoco puede ser 7. En ese caso habrían competido en tres pruebas (Lincoln obtuvo 7, 1, 1) que no alcanzarían para que Washington obtuviera los 22 puntos.
• Si el número de puntos para cada ganador es 6, hubo un máximo de cuatro pruebas (Lincoln obtuvo 6, 1, 1, 1). Para llegar a 22, Washington debió ganar tres y obtener un segundo puesto que otorgara 4 puntos. Entonces la tercera escuela, Roosevelt, debió salir tercera en la prueba que ganó Lincoln y segunda en las otras dos, sumando 13 puntos, lo que contradice los datos.
• Si el primer puesto otorgaba 5 puntos, debió haber 5 pruebas, ya que con menos Washington no alcanzaría los 22 puntos y con más Lincoln superaría los 9. Con las condiciones del acertijo sólo hay dos formas de sumar 22 puntos: 5 + 5 + 5 + 4 + 3 y 5 + 5 + 5 + 5 + 2.
• En el primer caso, el segundo obtendría 4 puntos y el tercero 3, con lo que tanto Lincoln como Roosevelt superarían los 9 puntos.
• Finalmente, la otra combinación da la solución: el ganador obtuvo 5 puntos por prueba, el segundo obtuvo 2 y el tercero 1. Por lo tanto, Washington ganó todas las pruebas (excepto tiro al blanco), incluyendo salto en alto. Tras un largo razonamiento, esta última frase es casi idéntica a la del atajo tomado por Pablo.

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Los propios límites

Diego Uribe

Los propios límites
por Diego Uribe

PlanteoTodos acordarán que la figura 1 es un cuadrado formado por 9 puntos. Según la enciclopedia un cuadrado es una figura compuesto por cuatro lados de la misma longitud que forman cuatro ángulos de 90 grados. Sin embargo, la figura 1 no tiene lados y, por lo tanto, mucho menos tendrá ángulos entre los lados. Apenas si tiene 3 puntos aislados. A pesar de ello persistimos en percibir a la figura como un cuadrado. Parecería como si, de alguna manera, fuésemos capaces de completar los vacíos entre los puntos hasta formar los lados, aunque esto sucede sólo en los bordes: percibimos la figura como un cuadrado, tal vez con un punto en el centro, pero no como un cuadrado grande con una cruz en el centro, o como cuatro cuadrados más pequeños y vecinos.

En las primeras décadas del siglo XX, una escuela de psicología alemana estudió las condiciones que llevan a que percibamos un grupo de objetos aislados como una unidad. Las conclusiones fueron expuestas en forma de leyes de la percepción: las leyes de la Gestalt. El concepto general es el de Prägnanz, o precisión al organizar la percepción: cuando las cosas son percibidas como un todo se requiere del cerebro la cantidad mínima de energía. Para usar la inevitable metáfora computacional, percibir los 9 puntos como un cuadrado es el código que utiliza menos recursos del microprocesador. La consecuencia es que el cuadrado tiene límites: hay un adentro y un afuera. El punto central, por ejemplo, está claramente adentro; éste párrafo está claramente afuera.

SoluciónUno de los acertijos más viejos del mundo pide unir los 9 puntos mediante 4 trazos rectos, sin levantar el lápiz del papel. Quien se haya propuesto resolverlo sabe que los primeros intentos están fuertemente condicionados por la prägnanz y que las líneas que uno traza quedan dentro de los límites del cuadrado. Sólo cuando uno se atreve a sobrepasar estos límites se puede hallar la solución.

En un país extrañamente parecido a mi barrio, todo objeto enviado por correo que no esté dentro de una caja cerrada con candado es invariablemente robado. Adán desea enviarle a Eva un regalo, tal vez un anillo o un par de pendientes. (El porqué Adán quiere enviarlo por correo y no entregarlo personalmente no nos concierne: en este acertijo las cosas son así y punto.) Adán y Eva disponen de una gran variedad de candados. Lamentablemente, Adán no tiene llave de ninguno de los candados de Eva y viceversa. El cuestión es: ¿cómo hace Adán para que Eva reciba el regalo? Un par de aclaraciones. Eva debe poder usar el regalo; no basta con que reciba una caja que no puede abrir con el regalo adentro. Además, si Adán o Eva envían una caja con un candado sin cerrar, en el correo se roban el candado más lo que la caja contenga.

Medité este problema a lo largo de varios días. Mientras conducía por la Panamericana hacia el trabajo ponía el cerebro en piloto automático y usaba la parte libre para intentar resolverlo. Finalmente dí con una solución: Adán enviaba a Eva una caja chica cerrada por un pequeño candado. Pero antes de cerrar el candado enhebraba en el aro de éste la llave de un segundo candado. Al cabo de unos días, una vez que estaba seguro que Eva había recibido la primera caja, mandaba una segunda con el regalo en el interior y cerrada con el candado cuya llave había enviado. Cuando Eva recibía esta nueva caja manipulaba la primera para insertar la llave en el candado y abrirla.

El problema con esta solución es su inocultable fealdad. No tiene ni un atisbo de elegancia. ¿Manipular caja, candado y llave para abrir otro candado? Horrible. Fui a consultar la respuesta. Así me enteré que no estaba solo: varios asistentes a la última reunión en honor de Martin Gardner la habían propuesto . De alguna manera esto me consoló: aunque es cierto que el mal de muchos es consuelo de tontos, en la reunión estaban muchos de los tontos más inteligentes del mundo. Sin embargo, el acertijo tiene otra solución mucho más elegante. Como sucedía con el cuadrado de 9 puntos, me impuse a mí mismo límites que me impidieron encontrarla. Pero estos límites no parecen ser del mismo tipo que los del cuadrado. No creo que sirvan para ahorrarle energía a mi cerebro. Más bien parecen límites culturales, tal vez de educación, formación o simplemente costumbre. Los lectores no están afectados por mis propios límites y tal vez puedan hallar la solución elegante.

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Soluciones éticas, soluciones tramposas

Diego Uribe

Soluciones éticas, soluciones tramposas
por Diego Uribe

Hace unos meses Pablo Milrud presentó en este blog su acertijo preferido:

En una reunión nos encontramos mi esposa, yo y otras tres parejas. Comenzamos a estrecharnos las manos, hasta cierto momento en que se interrumpen los saludos. Pregunto a los presentes cuántas manos estrecharon, y cada uno me responde con un número distinto. Teniendo en cuenta que nadie se saluda a sí mismo ni a su pareja (ni a nadie más de una vez), ¿cuántas manos estrechó mi esposa?

Pablo finalizaba diciendo que el acertijo «tiene una solución elegante y constructiva, y otra tramposa y fulminante». Veamos primero la constructiva.

En la reunión había 7 personas más Pablo, por lo que recibió siete respuestas diferentes. La cantidad máxima de apretones de manos que alguien pudo dar es 6 (ya que no saludó a su pareja ni, obviamente, a sí mismo). Por lo tanto las 7 respuestas diferentes no pueden ser otras que 6, 5, 4, 3, 2, 1 y 0. Llamemos a cada persona por el número de apretones de manos que dio. 0 no estrechó ninguna mano, por lo que 6 debió darle la mano a 5, 4, 3, 2, 1 y Pablo. Visto del otro lado, 1 le dio la mano a 6, con lo que su cuota queda llena. Entonces 5 debió darle la mano a 6 (como ya se dijo) y a 4, 3, 2 y Pablo. Nuevamente, 2 le dio la mano a 6 y 5, con lo que también llena su cuota. Finalmente, 4 dio la mano a 6 y 5 (ya se lo dijo) y a 3. Visto del lado de 3, éste dio la mano a 6, 5 y 4, con lo que se acaban los apretones.

Todo lo anterior está resumido en la figura 1. Los puntos representan personas; las líneas, apretones de mano. De 0 no surge ninguna línea, de 1 surge 1, de 2 surgen 2, etc.

Figuras 1 y 2

Lo primero que salta a la vista es 6 está unido por líneas a todos, excepto a 0. Por lo tanto 6 y 0 son pareja. Borrémoslos de la figura.

En la figura 2, 5 está unido por líneas a todos excepto a 1; ambos forman una pareja. Eliminemos a 1 y 5.

En la figura 3, de 4 salen líneas hacia 3 y Pablo. Sólo queda 2 disponible para ser pareja de 4. Borrémoslos.

Finalmente, en la figura 4 se forma la última pareja: Pablo y 3. Por lo tanto, la esposa de Pablo apretó 3 manos.

Figuras 3 y 4

Una propiedad interesante de esta solución es que entrega más información que la que el acertijo pide. Por ejemplo, cómo está formada cada pareja. Además, si volvemos a la figura 1, veremos que Pablo y 3, su esposa, apretaron las manos de las tres mismas personas: 4, 5 y 6. Según asistentes a la reunión, la explicación es simple y prosaica: la reunión se hizo en casa de Pablo y él y su esposa se encontraban en la puerta dando la mano a los invitados, cuando de repente Pablo no aguantó más y se disparó hacia los bocadillos de palmitos y de salmón. Su esposa sólo atinó a seguirlo pidiéndole que volviese sin obtener, es triste decirlo, ningún resultado. De circunstancias así nacen los grandes acertijos.

Esto en cuanto a la solución constructiva. Veamos la tramposa, provista por el propio Pablo. Supongamos que quienes no se saludan con un apretón de manos se saludan con un beso (nuevamente excluyendo saludos entre cónyuges y besos en el espejo). La suma de besos y apretones que cualquier persona dio es, entonces, 6. Supongamos que ahora Pablo pregunta a los presentes cuántos besos dieron. La respuesta, nuevamente, será un número diferente para cada uno, ya que cada persona responderá con la diferencia entre 6 y la cantidad de apretones que dio. Esto da lugar a un problema idéntico al anterior. Y si la solución existe y es única, debe ser idéntica para ambos problemas: 6/2. La esposa de Pablo dio tres apretones de manos y tres besos.

Por supuesto, las respuestas «tramposas y fulminantes» como la anterior sólo existen en el mundo ideal de los acertijos, y no en el mundo real, donde no se sabe si los problemas tienen solución. Así son las reglas del juego y más tarde volveremos sobre el tema. Prosigamos.

Tiene ahora la palabra Jaime Poniachik. En Punta Mogotes hay un tesoro enterrado. Las instrucciones para encontrarlo son simples: se parte de una roca roja, se camina hasta un ciprés, se gira a la izquierda 60 grados, se camina una distancia igual a la recorrida desde la roca, se clava una estaca. Se vuelve a la roca, se camina hasta un roble, se gira a la derecha 120 grados, se recorre una distancia igual a la recorrida desde la roca, se clava otra estaca. Se traza una línea de estaca a estaca; en el punto medio está el tesoro (figura 5).

Figura 5

El problema es que en Punta Mogotes no hay una sola piedra roja; hay cientos. Jaime obtiene la solución aplicando un teorema geométrico por el que los giros se transforman en reflexiones. Esta es la solución clásica. La solución tramposa es, nuevamente, fulminante y no requiere ningún conocimiento especializado. Si hay multitud de piedras pero el acertijo tiene solución, entonces no importa la posición de la piedra roja; cualquier posición puede servir. Coloquémosla, entonces, en el medio de la línea que une los árboles (figura 6).

Figura 6

Una vez plantadas las estacas, éstas y los árboles forman un paralelogramo. Los lados mayores miden el doble que los menores. En el medio de uno de los lados mayores está el punto de partida; en el medio del otro está el tesoro. Los lectores que quieran corroborar el resultado no tienen más que superponer las figuras 5 y 6: roble, ciprés y tesoro coincidirán.

Se dijo antes que la condición esencial para que las soluciones fulminantes funcionen es que el acertijo realmente tenga solución única. Esto es un verdadero aviso de alarma. Veamos. ¿Cuánto mide el área coloreada a la izquierda de la figura 7? El tamaño del círculo interior no figura entre los datos del problema; reduzcámoslo a un punto. Entonces, el anillo coloreado pasa a ser un círculo, la línea que era tangente al círculo interior pasa a ser diámetro del área coloreada y ésta mide Π. Ahora, ¿cuánto mide el área azul de la primera figura de la derecha? Si, como en el caso anterior, se conjetura que como no se tiene datos del área blanca se la puede reducir a una línea, se sufrirá una desilusión. Porque, como se ve en las siguientes figuras, la superficie del área azul puede variar entre 2, cuando la línea de puntos está a 45° y 0, cuando está horizontal. El problema de la izquierda tiene solución única; el de la derecha, no.

Figura 7

A raíz del acertijo de Pablo, alguien envió un comentario calificando de trucha a este tipo de solución. (Para los no argentinos: trucha significa falsa, sin valor, engañosa). Puede ser, pero si el acertijo se presenta en el Campeonato Mundial de Acertijos, ¿despreciaría el tiempo ganado por ser trucha? Además, muchas veces descubrir una solución trucha es tan satisfactorio, o acaso más, que encontrar la solución «ética». Sin ir más lejos, la sintética elegancia y el enfoque lateral de la solución fulminante al acertijo de Pablo son francamente superiores a la solución constructiva. Por otra parte, si en vez de simplemente declarar que el acertijo tiene una solución tramposa, el problema es encontrarla, ¿la solución trucha pasa a ser ética? Intentémoslo.

El siguiente acertijo está tomado de Nuevos pasatiempos matemáticos, de Martin Gardner. Tres escuelas, Washington, Lincoln y Roosevelt se enfrentan en un campeonato deportivo.
Washington gana el campeonato con 22 puntos; las otras dos escuelas obtienen 9 puntos cada una. Lincoln ganó la prueba de tiro al blanco. Se ignora el número total de pruebas. El ganador de una prueba recibía una determinada cantidad de puntos, el segundo una menor y el tercero una cantidad aún menor. Estas cantidades eran números enteros y positivos, pero no se sabe cuáles. Se sabe que hubo una prueba de salto en altura. ¿Quién la ganó? Como el acertijo preferido de Pablo, éste también tiene una solución constructiva y otra que toma el atajo fulminante. El problema consiste en encontrar la del atajo.

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Polvo para hornear

Diego Uribe

Polvo para hornear
por Diego Uribe

Retrato de familia

Caspar Morel

En una sala del Museo Histórico de Amsterdam hay un retrato de familia pintado por Caspar Morel: un interior de casa holandesa a principios del siglo XIX, con los miembros del clan (la madre, el padre, ocho niños de edades diversas, una mujer que quizás sea una niñera o una hermana de la madre), dispuestos en tres grupos. Todos parecen congelados por la necesidad de mostrar la cara al retratista, a pesar del esfuerzo de éste por dar a la composición una cierta naturalidad. A primera vista, la escena no tendría nada particular. Muebles de madera, pinturas en las paredes, un reloj, hasta un juguete con ruedas: un caballito de madera que es una réplica en miniatura de un caballo real. Aunque quizás esta miniatura sea una pista. Los niños no tienen proporciones de niño; sus cabezas resultan demasiado pequeñas; los rostros parecen rostros de adultos con mofletes, como si, al igual que el caballito, también ellos fueran modelos a escala reducida de personas mayores. La impresión se refuerza cuando se repara en que una de las niñas-mujer-reducida se sienta en una silla, que es también una réplica reducida de una silla normal.

Tal vez se podrá opinar que los muebles y los niños holandeses de esa época eran exactamente así, o que la falta de habilidad impidió al artista una representación más fiel. Pero hay algo más. El cuadro que se encuentra a la izquierda, en la pared del fondo, no es un cuadro común, un paisaje con árboles o molinos de viento como los restantes cuadros de la habitación. Como el caballito y los niños, es una copia a escala reducida, esta vez del propio retrato de familia que Morel ha pintado, con sus padres e hijos, niñera, muebles y juguetes y, por supuesto, una nueva miniatura del mismo cuadro con el retrato, en una sucesión que presumiblemente no tiene fin como los reflejos en una galería de espejos. (La referencia a los reflejos es explícita: en la pared de la izquierda, entre dos ventanas, un espejo refleja al mismo tiempo la espalda de una de las niñas de la escena principal y la figura del padre de la escena reducida, afirmando, de paso, que ambos reflejos tienen la misma entidad, que el destino del retrato es ser colgado allí donde el pintor ya lo ha colocado.) Para, mutatis mutandis, ilustrarlo con un texto literario, la estructura del retrato es similar al sueño de los cuartos infinitos con el que se consolaba José Arcadio Buendía en Cien años de soledad: soñaba que se levantaba de la cama, abría la puerta y pasaba a otro cuarto igual, y de éste a otro y a otro, hasta que su compadre Prudencio Aguilar lo tocaba en el hombro, y entonces regresaba de cuarto en cuarto para despertar en el cuarto de la realidad.

El cuadro dentro del cuadro

Galería

El retrato de la familia holandesa es apenas uno de una larga serie de obras que se refieren a sí mismas. El Velázquez de las Meninas que se autorretrata en el acto de pintar el propio cuadro, o el retrato-documento de las bodas Arnolfini, en el que van Eyck se asoma en el reflejo del medallón del fondo del cuarto dando testimonio de su presencia, son las muestras más conocidas de autorreferencia, de cuadro dentro del cuadro1. El recurso persiste hasta nuestros días: en un polvo para hornear se ilustra la lata con un dibujo de la propia lata2.

En el siglo XVII, el cuadro dentro del cuadro tuvo una variante curiosa. Por influjo del Renacimiento, las pinturas habían dejado de ser simples objetos elaborados por artesanos para transformarse en obras valiosas producidas por artistas. Las colecciones de pinturas derivaron en símbolos de riqueza y quienes las poseían ordenaban la confección de catálogos que demostrasen su opulencia y tal vez su buen gusto de conocedores. Como la mejor forma de demostrar que se poseía una pintura era reproduciéndola, los catálogos resultaban ser nuevas pinturas que retrataban la colección completa. Así, son famosos los retratos que hizo Teniers de la colección que el archiduque Leopoldo Guillermo poseía en Bruselas. El status de este tipo de obras resulta ambiguo. La condición de documento de las de Teniers, por ejemplo, casi se ha perdido y las pinturas de ese tipo son generalmente admiradas como obras de arte sin valor utilitario. Aquí ya rozamos la paradoja. Supóngase que el archiduque hubiese encargado a Teniers pintar el catálogo de todas las obras que no estuviesen cataloga das. Entonces, la pintura-catálogo, ¿debería incluirse a sí misma? Si lo hacía, figuraría en un catálogo y por lo tanto no debería incluirse; si no lo hacía, no figuraría y por lo tanto debería incluirse3.

El retrato de colección siguió practicándose hasta el siglo pasado, incluyendo las grandes colecciones de los museos públicos, especialmente el Louvre de París y la National Gallery de Londres. Hoy en día, computadoras mediante, pueden practicarse nuevas variantes. La que ilustra esta nota fue hecha por William J. Mitchell, decano de la Escuela de Arquitectura y Planeamiento del Instituto Tecnológico de Massachusetts4. Ya no se trata de un esquema lineal, una lata de polvo para hornear dentro de otra lata de polvo para hornear, sino que cada uno de los cuadros que se exhiben en la galería son el retrato de la colección completa (que consta, así, de un único cuadro y por lo tanto deja de ser colección)5.

Intermezzo

Bictoria

El esquema de las ilustraciones anteriores permite graduaciones. La mano haciendo la V de la victoria (perturbadora en cuanto deformidad) ocupa un puesto intermedio entre el retrato de la familia y la colección de un solo cuadro. Los dos dedos, índice y mayor, se convierten en antebrazos de los que surgen dos nuevas manos, de manera que si la mano fuese un árbol, a medida que se lo trepase cada nuevo nivel tendría el doble de ramas que el anterior. En matemáticas esta estructura es conocida como un árbol binario, por lo que podría decirse que la ilustración es una bictoria, una victoria binaria.

Retrato bizarro

Autorretrato bizarro

Lata, mano, colección; el bizarro6 retrato de hombre marca el límite superior de la serie: está totalmente formado por copias más pequeñas de sí mismo. Al menos en teoría, cada una de las copias más pequeñas podría, a su vez, estar formada por copias aún más pequeñas y así hasta el infinito. Como esto requeriría un trabajo infinito y un sistema de impresión que registrase detalles infinitamente pequeños, el retrato se ha detenido una vez indicado el procedimiento. Sin embargo, suponiendo que se hubiese continuado, la ilustración tendría una característica notable: cualquier porción, convenientemente ampliada, reproduciría la cabeza con exactitud hasta en sus más infinitamente mínimos detalles. Ya no se trata de una hilera de cuartos, sino más bien de un fenómeno parecido al aleph que Borges declaró haber contemplado en un sótano de la calle Garay, y en el que todo lo existente podía contemplarse en un solo punto. Si en vez de un retrato de hombre se tratase del universo, cada partícula ínfima contendría al universo entero7.

Caos demográfico

Modelo logístico

Aquí entramos en otro campo; el modelo a representar no será un objeto físico, una familia o una pintura, sino un objeto abstracto: un modelo matemático. Cuando los científicos desean conocer el comportamiento de un sistema de cierta complejidad, en vez de realizar experimentos directamente sobre el sistema (cosa que generalmente es imposible o al menos peligrosa) hacen un modelo matemático del mismo y se dedican a manipularlo. La idea consiste en variar ciertos parámetros para estudiar la respuesta del modelo y cotejarla con el sistema real. De más está decir que el destino de los modelos matemáticos es fracasar indefectiblemente, fracaso que en algunos casos permite elaborar un nuevo modelo más aproximado a la realidad. Por ejemplo, de los sistemas, leyes y teorías de Ptolomeo, Copérnico, Newton y Einstein se pueden obtener modelos matemáticos, cada vez más aproximados, del funcionamiento del Sistema Solar.

Hace unos años los científicos sociales inventaron el modelo logístico, una estructura matemática muy simple que pretendía representar la evolución de una población que contase con una cantidad fija de recursos. El dato a variar era la tasa de crecimiento de la población8. Cuando los científicos realizaron los cálculos, aparecieron ciertas características interesantes. Si la tasa de crecimiento era muy baja, la población desaparecía al cabo de un tiempo. Una tasa más alta hacía que se estabilizase: no crecía ni disminuía. Aumentándola un poco más, la población sufría una serie de altibajos: alcanzaba una cifra, luego disminuía hasta otra cifra, nuevamente crecía hasta una tercera, volvía a bajar hasta una cuarta cifra, y finalmente retornaba a la primera, recomenzando el ciclo. Estos altibajos seguían un orden claro: la cantidad exacta de cifras entre las que oscilaba la población dependía del valor de la tasa de crecimiento, y a medida que ésta aumentaba, la población oscilaba entre más cifras. Finalmente, a tasas de crecimiento más altas, se desencadenaba el caos; pequeñísimas variaciones en el valor hacían que la población oscilase locamente. En términos de la realidad que el modelo intentaba representar, esto significaba que, si no se conocía con total exactitud y hasta en su más mínima fracción decimal la tasa de crecimiento de una población, resultaba absolutamente imposible predecir como evolucionaría ésta. Y sin embargo, dentro de este caos matemático existía un orden: el mismo orden que en la lata de polvo para hornear.

En el eje horizontal de la ilustración se representan los valores de la tasa de crecimiento, aumentando de izquierda a derecha; en el eje vertical se representan las cifras que alcanza la población. Por ejemplo, en la parte izquierda la población se mantiene en una única cifra constante; a partir de cierto valor de la tasa comienza a oscilar entre dos cifras, luego entre cuatro, etc. La mitad derecha, en cambio, representa el caos. El recuadro de la parte inferior izquierda es una ampliación del recuadro pequeño; con alguna pequeña distorsión, es exactamente igual a la ilustración completa. A pesar de su origen diferente, el modelo logístico también es, como los ejemplos anteriores, autosimilar, y en toda la zona caótica existen infinitas porciones que, ampliadas, son similares al diagrama completo9.

Actualmente el modelo logístico es considerado demasiado simple e irreal. Sin embargo, ha dejado una lección: el caos matemático parece inherente a muchos fenómenos sociales, no sólo a la evolución de una población, sino también a fenómenos más artificiales, como el comportamiento de los precios en la bolsa de valores. De allí que todos los que se dediquen a la planificación, sean gobernantes o legisladores, economistas o urbanistas, deberán necesariamente enfrentarse con el caos. Entonces, antes de tomar decisiones que nos afectan a todos, tal vez les convenga meditar, como Hamlet con la calavera de Yorick, con una lata de polvo para hornear en la mano.

Notas

[1] Julián Gállego, El cuadro dentro del cuadro, Ediciones Cátedra, Madrid, 1978. Mario Levrero encontró este libro en una librería de segunda mano de la calle Corrientes y lo compró para regalármelo.

[2] La autorreferencia, voluntaria o no, siempre tiene regusto a paradoja. Cito tres casos, dos en serio, el último en broma (un cuarto caso, muy conocido, puede encontrarse en el Quijote, cuando Sancho Panza debe aplicar la ley de entrada a la ínsula de Barataria). El primero: en general, el mayor peso que debe soportar una estructura (un puente, un edificio) es el peso propio. Entonces, ¿como puede calcularse el tamaño de una viga o de una columna si para hacerlo debe previamente conocerse el tamaño de esa viga o columna? El segundo: en una edición de hace unos años de la Enciclopedia Salvat, la definición de libélula era “nombre común que se aplica a las especies del género libellula”. En la edición que se entregaba años atrás con La Nación fue reemplazada por la más metafórica pero menos paradójica “caballito del diablo”. El último: en el índice analítico de un libro sobre uno de esos juegos de rol a los que parecen tan afectos los estudiantes de los colleges norteamericanos, figura una “entrada autorreferente al índice”, que sólo está allí para apuntarse a sí misma.

[3] El autor de la paradoja es Bertrand Russell. En 1902 la envió a Gottlob Frege, quien acababa de entregar a la imprenta una obra sobre teoría de conjuntos. La paradoja invalidaba uno de los fundamentos del trabajo de Frege, que apenas si tuvo tiempo para incluir una pequeña nota reconociéndolo.

[4] William J. Mitchell, The Reconfigured Eye, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1992.

[5] Esto sólo es cierto en teoría. En realidad, si se mira la ilustración con una lupa se observará que los cuadros de la colección son reproducciones del cuadro original, tal como era antes de que Mitchell lo modificase.

[6] Bizarro proviene del euskaro bizar, barba. Por lo tanto, además de extraño o fantástico, significa barbado.

[7] Desde el punto de vista matemático todos estos casos, desde el polvo para hornear hasta la representación del universo, tienen la misma cardinalidad. Son ejemplos del primero de los números transfinitos imaginados a fines del siglo XIX por Georg Cantor: el aleph-cero. La característica del aleph-cero es tener un número infinito de elementos que pueden ser contados, es decir, que se los puede poner en correspondencia uno a uno con los números enteros. De aquí proviene el nombre aleph del cuento de Borges (por supuesto, Cantor lo tomó de la primera letra del alfabeto hebreo).

[8] El modelo logístico responde a la función P(t+1) = P(t) × T × (1-P(t)), donde P(t) indica la cantidad de población actual; P(t+1) indica la cantidad de población al cabo de un lapso determinado de tiempo, y T indica la tasa de crecimiento de la población a lo largo de ese lapso de tiempo.

[9] El modelo logístico, el retrato, la victoria y la colección de pinturas son ejemplos de una de las áreas de desarrollo más calientes de la matemática actual: los objetos fractales (regulares en los tres últimos casos; irregular en el primero). Los fractales tiene todas las propiedades vistas: autorreferencia, autosimilitud, carácter decididamente paradójico y, además, otras aún más extrañas, como dimensión (fractal) fraccionaria. Resulta que los fractales (y su primo-hermano, el caos matemático) son capaces de modelar fenómenos que hasta el momento eran casi imposibles de analizar, pertenecientes a disciplinas tan diversas como la meteorología, la hidráulica, la botánica o la economía.

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El viaje del cubo

Diego Uribe

El viaje del cubo
por Diego Uribe

De la q a la dHace veinte años escribí una nota en broma en la revista Cacumen. El argumento era el siguiente. Es imposible transformar la letra “q” en la letra “d”, por más que se mueva o gire el papel. Sin embargo, una “q” que se mira en el espejo se traviste de “d”. El mismo resultado se obtiene recortando la letra y rotándola en el aire, es decir, sacándola del plano de dos dimensiones de la hoja y girándola en el espacio de tres dimensiones. En otras palabras, la operación reflexión es equivalente a una rotación en un espacio con una dimensión más. Si uno quiere obtener un zapato izquierdo a partir de uno derecho, sólo debe mirar su reflejo… o rotarlo en la cuarta dimensión.

Cubo de NeckerHace su entrada el cubo de Necker. Como los lectores de este sitio saben, la percepción del cubo oscila entre dos estados, de manera que la cara que en un momento parece más cercana pasa a estar más alejada y viceversa. Como la “q” y la “d”, las dos posiciones del cubo de Necker son reflejo una de la otra. Como el zapato, reflejarlo en el espejo equivale a rotarlo en la cuarta dimensión. Ahora consideremos un cubo de Necker que en vez de aristas tenga barras. ¿Que forma adquiere este cubo a mitad del viaje por la cuarta dimensión, cuando rota haciendo que la cara de atrás se desplace hacia delante y la de adelante hacia atrás? Sorprendentemente, la de una figura imposible. Entonces, ¿las figuras imposibles tienen cuatro dimensiones? ¿Nuestra percepción tiene cuatro dimensiones? Los lectores tienen piedra libre para especular.

J-P Tingaud

Días atrás recibí, por medio de Iván, un mail de Jean-Pierre Tingaud, un artista francés que encontró algunas figuras de mi nota en el sitio Ilusionario. Me escribía para contarme que también él había descubierto, en forma independiente, la figura imposible derivada del cubo de Necker. Y la había transformado en un sistema artístico llamado NED: Necker-Escher-Dado, del que me enviaba algunas muestras. La diferencia entre la elegancia de las obras de Tingaud que ilustran esta nota y la grosería de mis garabatos es tan marcada que no merece comentarios. A lo sumo sirve para constatar que el viaje de un cubo a algunos apenas si nos sugiere una broma; a otros, en cambio, una obra de arte.

J-P Tingaud

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Ese monstruo me mira

Diego Uribe

Ese monstruo me mira
por Diego Uribe

¿Alguna vez viste una de esas películas de misterio que transcurren en una vieja casona llena de puertas secretas, muebles oscuros y retratos antiguos colgados en las paredes? En algún momento la cámara se detiene en uno de los retratos y puede verse que los ojos se mueven, espiando a los que se encuentran en la habitación. Por supuesto, todos sabemos que los ojos de las pinturas no se mueven, que detrás seguramente se encuentra el siniestro dueño de la siniestra casa o tal vez algo peor. Así y todo, al pasar frente a un retrato, a la foto de una cara de frente o a esas imágenes con el rostro de Cristo que venden en los alrededores de la basílica de Luján tal vez hayas sentido que los ojos te seguían. Esto tiene una razón lógica que podrás comprobar armando el modelo de la página siguiente. Antes, unas pocas explicaciones.

Nuestros rostros son en su mayor parte convexos, es decir, salientes. Son salientes la nariz y las cejas, y en menor medida los pómulos y los labios. La zona de los ojos, en cambio, es entrante, cóncava: se encuentra más atrás que el resto de los rasgos de la cara. Todo esto lo comenzamos a aprender desde el momento en que nacemos, mirando la cara de nuestros padres. Y lo aprendemos tan bien que tendemos a considerar cualquier imagen de un rostro como si fuese convexa. Ahora bien, cuando pasamos frente a alguien mirándolo a la cara, a medida que nos desplazamos vemos que las partes que sobresalen más van ocultando a los otros rasgos: primero la punta de la nariz oculta una mejilla, luego el dorso de la nariz oculta parte de un ojo. Por eso, cuando pasamos frente a un rostro plano (como el de los retratos), o cóncavo (como el del modelo de la página siguiente), inconscientemente lo consideramos convexo. Pero ahora los rasgos salientes no ocultan a los rasgos entrantes. Al contrario, seguimos viendo los ojos del retrato en todo momento. Y la única forma de que esto tenga sentido es considerar que el retrato o el modelo giran la cabeza mientras pasamos, siguiéndonos con la mirada.

El monstruo de la página siguiente [N. del E.: ver el documento PDF] fue creado, basándose en una idea del conocido mago e ilusionista Jerry Andrus, por Binary Arts (ahora ThinkFun, una empresa de los Estados Unidos dedicada a la creación de juegos y rompecabezas, para repartir en la tercera edición de Gathering for Gardner, el encuentro que los aficionados a las matemáticas recreativas realizan periódicamente en honor a Martin Gardner.

Fotocopiá y armá el modelo doblando y pegando como se indica en la ilustración. Colocálo en un lugar a la altura de tu vista y mirá hacia la cabeza cóncava. Entrecerrá los ojos. De repente, la cabeza parecerá invertirse y transformarse en convexa. Entonces, tratando de mantener la imagen convexa de la cabeza (quizás debas mantener los ojos entrecerrados), movéte alrededor del cuarto. ¡Uau! ¡Ese monstruo gira la cabeza para seguirte con la mirada! En el sitio Grand Illusions hay un video del bicho; también una versión en color del modelo.

Este artículo formaba parte de un libro de Diego Uribe sobre ilusiones ópticas, pero quedó afuera de la edición por motivos técnicos. Generosamente lo ofrece para todos los lectores de juegosdeingenio.org. La plantilla con el monstruo se encuentra en el documento PDF que se indica aquí abajo. Para leerlo hace falta el Acrobat Reader.

PDF Diego Uribe: Ese monstruo me mira (348Kb)

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Hans de Rijk cumple 80 años

Diego Uribe

Hans de Rijk cumple 80 años
por Diego Uribe
Gefeliciteerd met je verjaardag, Hans! Moge de volgende 80 jaren net zo creatief en productief zijn als die van de eerste.
(¡Feliz cumpleaños Hans! Que tus próximos 80 años sean tan creativos y productivos como los primeros.)

Hans de RijkHoy cumple 80 años Hans de Rijk, más conocido por el seudónimo Bruno Ernst, el matemático amigo, biógrafo y exégeta de Escher, autor del notable Espejo mágico de M.C. Escher. Tal vez la fama de este libro o la amistad con Escher oculten el alcance del trabajo y la diversidad de intereses de Hans. Su cumpleaños me sirve de excusa para mencionar los que conozco.

Hans es perpetuo divulgador de la obra de artistas que trabajan con figuras imposibles. Su libro Het begoochelde oog (El ojo engañado, edición en inglés: Optical Illusions, Taschen) acompañó en 1987 a la más grande exposición sobre el tema y hasta el día de hoy es la fuente de la que se nutren de ilustraciones una gran cantidad de sitios de la web. Es, además, autor de la más difundida explicación del triángulo imposible, explicación para la que no necesitó escribir una sola palabra; apenas necesitó poco más que los restos de una caja de cigarros y un espejo.

Lo imposible revelado

Menos conocida es su calidad de instigador de nuevas paradojas. István Orosz cuenta que Hans le envió un boceto y la invitación a usar el esquema en un grabado en que el espejo nuevamente serviría para mostrar una realidad oculta, aunque no la realidad cotidiana, como en la foto del triángulo imposible, sino una realidad distinta, que se encuentra tras la puerta (puerta mágica, dice el boceto) y que el espectador no puede percibir directamente, sino sólo como reflejo.

Boceto

En la interpretación de Orosz el espejo refleja un pueblo mediterráneo sacado de un grabado de Escher. Pero, como sucede siempre con las obras de István, en las que las cosas nunca son totalmente lo que parecen ser, si se coloca un espejo cilíndrico sobre el pozo de agua se revela que la vegetación y rocas del suelo en realidad son una anamorfosis del rostro de Escher.

István Orosz

Claro que las figuras imposibles no son su único interés. Hans se mueve con envidiable facilidad en la tierra de nadie que vincula artes y ciencias. Es un reconocido especialista en diseño e historia de los relojes de sol y creó la asociación De Zonnewijzerkring, que agrupa a los interesados en el tema. Es miembro honorario de la Royal Mathematics Society de Londres. Fundó dos revistas, Archimedes y Pythagoras. Participó de la creación del observatorio astronómico Simon Stevin y de dos fundaciones, Mercator y Ars et Mathesis, de la que fue secretario durante años. Es autor de varios libros y gran cantidad de artículos y es consultado permanentemente por diarios y revistas.

En los tiempos en que aún no existía el correo electrónico, Hans practicaba el arte del asombro caligráfico. Ignoro qué impresión causaba en el cartero entregar un sobre con iniciales adornadas más dignas de un manuscrito medieval que de la austeridad utilitaria del correo. Para mí era un sorpresivo placer recibirlos. La carta, escrita con pluma caligráfica y tinta sepia, era siempre un modelo de letra exquisita y diagramación elegante. Alguna vez me llegó una tarjeta con su lema en latín: NESCIUS OMNIUM CURIOSUM; ignorante curioso de todo. Y por cierto que Hans hace honor a su lema, mucho más por lo curioso que por lo ignorante, con su juguetón interés por las cosas nuevas. Hace pocos años le mandé el manuscrito de un libro que incluía un notable animal de papel, mezcla de perro y dragón, creado por la gente de Binary Arts y que, una vez sentado sobre el escritorio, insiste en seguir con la vista a todo aquel que lo observe. Hans se entusiasmó con el bicho, se dedicó a hacer copias para sus hijos y nietos, y terminó escribiendo una página donde da una explicación geométrica del efecto.

Carta de Hans de Rijk

Un reclamo final. Tiempo atrás Oscar Rëutersvärd le escribió a Hans que había descubierto un método totalmente nuevo para crear figuras imposibles. Luego enfermó. Hans me contó que se había comunicado con el hijo de Rëutersvärd para investigar sus papeles y averiguar a qué se refería. Desde entonces, no volvió a tocar el tema. Así que, Hans, estamos a la espera… aunque tengamos que aguardarte otros ochenta años.

(Gracias, Ingrid Siliakus, por la traducción al holandés del epígrafe.)

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Diego Uribe es experto en figuras imposibles.