Tableros numerados y cuadrados mágicos

Diego Uribe

Tableros numerados y cuadrados mágicos
por Diego Uribe

Mientras trabajaba en la relación entre torres que no se atacan mutuamente y cuadrados mágicos (ver aquí) me topé con la siguiente pequeña curiosidad.

Se comienza con un tablero numerado y un cuadrado mágico de igual tamaño:

Tablero numerado Cuadrado mágico de Durero

Luego se reemplaza cada número del cuadrado mágico por otro número formado por dos partes: la fila (columna) y la columna (fila) en que se encuentran en el tablero numerado. En el cuadrado siguiente se tomó primero la fila; para obtener el cuadrado que resulta de tomar primero la columna basta con invertir el orden de los dígitos. Así, 13 se transforma en 31, 12 en 21, 41 en 14, etc.

Nuevo cuadrado mágico

Este nuevo cuadrado tiene constante mágica 11 (n2 + n) / 2 (la fórmula n (n + 1 ) / 2 mencionada en el link de arriba sólo se aplica a los cuadrados mágicos llamados normales, que son los que tienen todos los números entre 1 y n2). Tiene, además, las mismas características que el original: constante mágica en las diagonales mayores, en los cuadrados de las esquinas y central, etc. Hay dos formas de reconstruir el cuadrado original. Una es realizar la operación inversa a la usada para construir el nuevo cuadrado. La otra es separar en sus dos dígitos cada uno de los números del nuevo cuadrado y aplicar la siguiente fórmula: n (1er_digito – 1) + 2do_dígito. Así, el 44 se transforma en 4 (4 – 1) + 4 = 16, el 21 se transforma en 4 (2 – 1) + 1 = 5, etc. Si para construir el nuevo cuadrado en vez de haberse tomado primero la fila se tomó primero la columna, la fórmula pasa a ser 1er_dígito + n (2do_dígito – 1).

Por lo que sé, esta propiedad nunca fue publicada antes y no he hecho ningún esfuerzo por demostrar los resultados. Si alguno de los lectores lo hace, me interesaría mucho saberlo.

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Torres y cuadrados mágicos

Diego Uribe

Torres y cuadrados mágicos
por Diego Uribe

Hace un tiempo, este sitio publicó un acertijo propuesto en 1998 por Julio González Cabillón:

Las casillas de un tablero de ajedrez están enumeradas del 1 al 64 de esta manera: la fila 1, con los números del 1 al 8, de izquierda a derecha; la fila 2, con los números del 9 al 16, de izquierda a derecha, y así sucesivamente. Se ubican sobre el tablero ocho torres de modo que no se puedan capturar unas con otras. ¿Cuál es la suma de los números de las casillas en las cuales están situadas las torres?

El problema puede generalizarse para cualquier tablero cuadrado de lado n y la respuesta es n (n2 + 1) / 2. Como esta misma fórmula se usa para calcular la constante de un cuadrado mágico de lado n, la coincidencia sugiere alguna relación entre ambos acertijos. Notablemente, esta relación pasa por un tercer tipo de acertijo. Veamos.

El acertijo de González Castillón pide disponer las torres sobre el tablero de manera que no se ataquen entre sí. Tomemos un tablero de lado n (en nuestro ejemplo, 5) y busquemos n soluciones a este problema. Estas soluciones deben ser tales que, si se las ubica a todas simultáneamente sobre el tablero, no quede ninguna casilla libre.

Torres que no se atacan

En el último tablero, el de las soluciones superpuestas, reemplacemos cada color por un número (1 para el negro, 2 para el rojo, etc.). El resultado es el cuadrado latino que se muestra abajo. A partir de aquí ya pisamos terreno conocido (ver aquí).

Primer cuadrado latino

A continuación construyamos otro cuadrado latino que, combinado con el anterior, resulte en un cuadrado greco-latino.

Segundo cuadrado latino

El paso final es obtener un cuadrado mágico a partir de los dos cuadrados latinos. Para eso se toma el valor de una casilla en el primer (segundo) cuadrado, se le resta uno, se multiplica el resultado por n (en nuestro caso, 5) y se le suma el valor de la casilla correspondiente del segundo (primer) cuadrado. El resultado se coloca en la casilla equivalente del cuadrado mágico (la multiplicación por n asegura que se obtendrán todos los número entre 1 y n2). Por ejemplo, consideremos la cuarta casilla de la segunda fila, que en primer cuadrado contiene un 3 y en segundo un 4. La operación es 5 (3 – 1) + 4 = 14, valor que se coloca en la cuarta casilla de la segunda fila del cuadrado mágico ilustrado abajo. También se podría haber hecho 3 + 5 (4 – 1) = 18, con lo que se hubiese obtenido un cuadrado mágico diferente.

Cuadrado mágico

Este método no garantiza cuadrados mágicos cuyas diagonales sumen la constante mágica, aunque sí lo harán las filas y columnas. Sin embargo, en ciertas soluciones como la del ejemplo de arriba, no sólo las diagonales mayores cumplen con esa condición, sino que también lo hacen las diagonales quebradas. A este tipo de cuadrados se los conoce como panmágicos.

Una aclaración final. Todo lo anterior sirve para demostrar la relación entre dos acertijos aparentemente independientes (aunque, curiosamente, no fue necesario hacer uso de la fórmula de la constante mágica). Si lo que se desea es construir cuadrados mágicos, existen métodos mucho más simples que pueden hallarse fácilmente en la web.

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Curiosidades

Diego Uribe

Curiosidades
por Diego Uribe

Estas dos curiosidades se abrieron paso en las revistas científicas en los últimos meses.

Ruta

A pesar de que las fotos de arriba son idénticas, la ruta de la derecha parece más inclinada que la de la izquierda. La simplísima explicación del fenómeno se encuentra aquí [pdf].

Siempre equilibro

El objeto de arriba tiene las siguientes propiedad: está hecho de un mismo material homogéneo, es convexo y, por más que se lo voltée, siempre vuelve a la posición de equilibrio de la foto. Es el primer sólido con estas características que se conoce y la fatigosa descripción técnica está aquí [pdf].

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Santos, cuadrados y la conquista del amor

Diego Uribe

Santos, cuadrados y la conquista del amor
por Diego Uribe

Hace unos años, cuando la crisis económica ya empezaba a golpear fuerte a los argentinos, viajaba en el 37 hacia Ciudad Universitaria. A la altura de Plaza Italia subió un chico, le dijo unas palabras al conductor y se puso a repartir estampitas. A mí, que estaba sentado, me dejó una sobre la rodilla. La miré sin demasiado interés, previendo la consabida oración a algún santo con fama de milagroso. Era, sí, una oración, pero el santo parecía nuevo: San Bitio, patrono de los programadores. Con alguna sorpresa canjeé la estampa por unas monedas, la leí y la guardé en un libro (aún la conservo y tal vez algún día la encuentre mientras busco otra cosa). Unos versos que hacían de refrán o jaculatoria me quedaron en la cabeza

Para el oscuro
código fuente
danos la luz
(o, por lo menos,
a Donald Knuth).

Curiosa aparición de Donald Knuth, profesor emérito de Stanford y gran programador, que luego de publicar los primeros tres tomos de su famosísimo Arte de programar computadoras, parecía haberlo dejado de lado. En realidad no lo había abandonado (en estos momentos prepara el cuarto volumen); sólo estaba entreteniendo otros intereses, como los cuadrados latinos.

Un cuadrado latino es un damero con un número en cada casilla. Hay tantos números diferentes como casillas tiene de lado el damero y en cada fila y columna un mismo número sólo aparece una vez. Hace un tiempo Iván Skvarca les dedicó una columna en TamTam. No es difícil reconocer al sudoku como la última reencarnación de un tipo de cuadrado latino.

Si se superponen dos cuadrados latinos del mismo tamaño cada casilla quedará ocupada por dos números, uno por cada cuadrado. Si cada pareja de números aparece sólo una vez en todo el damero, se tiene un cuadrado grecolatino.

La cuestión es que se suponía que el estudio de los cuadrados grecolatinos comenzó con Leonard Euler, un gran matemático del siglo XVIII que debutó en el tema con una pifia: conjeturó que no existían cuadrados grecolatinos cuyo lado fuera un número par no divisible por cuatro. Hoy se sabe que esto es cierto sólo para cuadrados de lados 2 y 6.

Resulta que hace poco Donald Knuth descubrió que los cuadrados grecolatinos se conocen al menos desde el siglo XIV, aunque tal vez sólo en forma implícita. En un viejo libro de Edmond Dutée llamado Magia y religión en Africa del Norte, Knuth encontró un método para producir talismanes numéricos basados en cuadrados grecolatinos que refería a otro libro de 1336, deliciosamente titulado El libro de los soles de luz y los tesoros de secretos, obra de Muhammed Ibn el-Hadjdj (conservo la transliteración francesa), un abogado que ejerció en lo que hoy es Marruecos.

El método es como sigue. Se elige una palabra mágica y poderosa, relacionada con la acción que se busca. Como en la gematría, se reemplaza cada letra por su valor numérico. Con estos números se forma un cuadrado latino. Luego se le superpone otro cuadrado latino, como para formar uno grecolatino, pero, en vez de escribir los números lado a lado en cada casilla, se los suma. Mágicamente, el resultado es un cuadrado mágico, uno que tiene todos los números distintos pero en el que la suma de las casillas de cada fila, columna y diagonal es siempre la misma. (Nuevamente, Iván tiene la palabra). El libro de los soles muestra un ejemplo en el que la palabra mágica es uno de los atributos de Dios: El Dador de Forma. El talismán se le entrega a una mujer embarazada para que el Dador de Forma dé la forma a quien lleva en el vientre.

Veamos una aplicación práctica. Esa persona lo da vuelta. Cada vez que se cruza en la calle usted siente que se le caen las medias y que la vida tendría mucho más sentido sólo con que le sonriera. El problema es que esa persona parece ignorar que usted existe. Un caso a medida para el talismán mágico.

Tome una poderosa palabra mágica: EROS. Reemplace cada letra por su valor numérico. En este caso, multiplique por cinco su posición en el alfabeto: la E es la quinta letra, reemplácela por el número 25; la R es la decimonona, reemplácela por el número 95, y así. Arme ahora un cuadrado latino con esos valores:

Figura 1

Arme luego otro cuadrado latino con los números 0, 1, 2 y 3.

Figura 2

Sume ambos cuadrados casilla a casilla.

Figura 3

El talismán resulta un cuadrado mágico con la constante 306 y un erótico requerimiento cifrado. Envíe el talismán como mensaje de texto al celular de esa persona y dispóngase a gozar de las delicias del amor. San Bitio, Mohammed ibn el-Hadjdj y un servidor garantizan el método.

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Las islas del tesoro

Diego Uribe

Las islas del tesoro
por Diego Uribe

Una de las más encantadoras costumbres de las Islas Británicas es la búsqueda del tesoro. Sólo que las actuales búsquedas del tesoro son muy diferentes a las que la larga tradición de piratas británicos permiten imaginar: ahora el dueño lo entierra, no para protegerlo de los demás, sino precisamente para los demás lo encuentren.

Pongamos el caso de la liebre de oro. El 7 de agosto de 1979, en algún lugar de las Islas Británicas, dos personas (uno las imagina de negro, mimetizadas en la oscuridad de una noche sin luna) entierran una joya valiosa, una filigrana de oro y piedras preciosas con forma de liebre. Una de las personas se llama Kit Williams y es autor de libros infantiles ilustrados. La otra, simplemente, actúa como escribano o testigo del hecho.

Masquerade

Pocos días más tarde Kit Williams presenta su nuevo libro. Se llama Masquerade y tiene 16 páginas exquisitamente ilustradas que cuentan la historia de Jack Hare (algo así como Juancho Liebre), quien debe llevar una joya que la Luna envía a su amante, el Sol. Pero al llegar al Sol, Jack descubre que ha perdido la joya… queda entonces para los lectores del libro la tarea de encontrarla, desentrañando las claves ocultas en las ilustraciones del libro. (Como atracción extra, cada ilustración, incluyendo la presente, contiene una liebre ingeniosamente camuflada.) Masquerade resultó un éxito rotundo y vendió cientos de miles de ejemplares, no sólo en las Islas Británicas, sino también en los Estados Unidos, Australia, Sudáfrica, Alemania, Francia y Japón. Para de alguna manera nivelar las chances de los extranjeros que no pueden ir a comprobar sus deducciones por ómnibus o tren, Williams anunció que también reconocerá al ganador si éste le envía por correo la solución al enigma. Esto terminará teniendo una importancia definitoria.

Durante más de dos años los lectores recorren la isla en busca de la joya, excavando en parques y jardines, baldíos y cementerios, públicos y privados. Finalmente, en marzo de 1982, una de la miles de cartas que Williams recibe incluye un bosquejo del sitio donde se encuentra enterrada. Williams reconoce el lugar y responde con instrucciones detalladas señalando dónde cavar: allí donde arroja su sombra la cruz que recuerda a Catalina de Aragón, la repudiada primera esposa de las seis que tuvo Enrique VIII (Una de seis para ocho, dice la parte inferior de la ilustración). La liebre aparece y la historia se publica en diarios y revistas. Y sin embargo, con un celo que recuerda al de los creyentes en platos voladores o diseños inteligentes, muchos lectores no reconocen la evidencia y siguen buscando y cavando, convencidos que ésta es apenas un avatar y que la verdadera libre de oro se encuentra en otro lado, oculta, esperando ser finalmente reconocida por quien tenga la fe suficiente.

En 1988 la historia da un giro inesperado. Un periódico denuncia al ganador de la búsqueda, un tal Thomas. Resulta que no sólo usa nombre falso, sino que no resolvió el enigma en absoluto. La novia de su socio fue novia de Williams años antes y sabía, a grandes rasgos, el sitio en que estaba oculta la liebre. No conocía, en cambio, la solución del enigma. Basado en los datos de la ex-novia, Thomas va al lugar y realiza el boceto que le valdrá el premio. Williams cae en la trampa y no exige saber cómo llegó Thomas a descifrar el misterio.

El caso de la libre de oro tiene dos finales. Unas pocas semanas después de desenterrado el tesoro dos profesores de física logran desentrañar las claves, pero ya es tarde y no reciben ninguna recompensa. Thomas crea un juego de computadora y usa la liebre como premio. El juego fracasa y la liebre se vende en remate público. Desde entonces, vuelve a desaparecer.

Isis es el nombre de una diosa egipcia a la que suele representarse con alas y un tocado formado por los cuernos de una vaca que sostienen el disco del sol. Isis es esposa de Osiris, señor del Otro Mundo. La historia del matrimonio es, por lo menos, curiosa. Seth, hermano menor de Osiris, lo odia y envidia. Un día lo sorprende, lo mata (¡si era señor del Otro Mundo, ya debía estar muerto!) corta su cuerpo en pedazos y los desperdiga por todo Egipto. Isis parte en su búsqueda. Al fin, tras arduos viajes y trabajo, logra encontrar los dispersos retazos, los arma con la paciencia con que se arma un rompecabezas y devuelve a Osiris a la vida. Al repasar su trabajo verifica que le falta un trozo: el pene. Sin embargo, a pesar del evidente déficit físico, Osiris logrará embarazar a Isis, quien parirá al dios Horus. Tal vez los bancos de esperma sean más antiguos que lo que uno cree.

Isis Boxed

Isis también es el nombre de un rompecabezas que se vende en las Islas Británicas desde hace algunas semanas. Como el tocado de Isis, tiene forma de esfera. Como el libro de la liebre, es la llave a tesoros escondidos. Cuesta 100 libras (algo así como 575 pesos) presenta bandas de metal en colores azul y oro (seguramente más por influencia de la máscara de Tutankamón que de la camiseta de Boca Juniors) y quienes lo han manipulado declaran que la calidad de la manufactura es admirable. Las bandas giran sobre un eje central y las de color azul tienen grabados signos que remedan jeroglíficos. Las claves a la interpretación de los jeroglíficos se publican en la red, donde los fabricantes explican que no hay dos Isis iguales, de manera que la solución de uno no sirve para otro. Se lo promueve como el rompecabezas más difícil del mundo.

El problema consiste en abrir la esfera, dentro de la cual se encuentra una llave. Esta llave, a su vez, abre una de varias pirámides, llenas de monedas de plata y de oro, enterradas a lo largo de las Islas Británicas. En el momento de escribir estas líneas algunas pirámides ya han sido descubiertas; otras siguen escondidas. Pero esta vez, a diferencia de lo que sucedió con la liebre de oro, a los que residen fuera de Gran Bretaña no se les han facilitado las cosas: no hay descripción por correo que valga y los tesoros debe desenterrarlos uno.

Sin embargo, Isis no dejó de llamar la atención en el extranjero. La lista de correos NobNet, creada por Nob Yoshigahara, un famosísimo inventor y fabricante de rompecabezas, es un buen indicador. Hace poco uno de los miembros trató de averiguar la procedencia, no de la esfera, sino del inocente cerrojo que asegura la tapa de madera en la que se la vende. El fabricante se negó de pleno a proporcionar cualquier dato. Otros miembros de la lista se interesaron por el rompecabezas en sí mismo, descartando la posibilidad de descubrir tesoro alguno. Alguien preguntó si, una vez abierta, era posible volver a armar la esfera. Le respondieron que sí, pero que el trabajo era realmente delicado, complicado y meticuloso. Entonces renunció a la compra. Tal vez recordó el destino de Osiris y temió que, una vez rearmado, descubriese que le faltaba una pieza fundamental y que el rompecabezas ya no fuera jamás el mismo. De historias así está lleno el mundo.

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Errores e imposibles

Diego Uribe

Errores e imposibles
por Diego Uribe

Antes de que Rëutersvärd y Escher las promoviesen a la categoría de recurso artístico, las figuras imposibles gozaban de una tranquila vida como ignotos errores en la perspectiva. Bruno Ernst inventó el deporte de rescatarlos del anonimato: en sus libros aparecen antiguos ejemplos debidos a artistas famosos y desconocidos.

Esclusa, de Mariano Taccola

BibliOdyssey es un blog notable y poco convencional. Contiene reproducciones de viejas ilustraciones (grabados, acuarelas, tintas, hasta carteles impresos) que el blogmaster bucea en la web. Hace unos días presentó una serie de máquinas dibujadas por Mariano Taccola, un ingeniero militar que vivió en la ciudad de Pisa durante el Renacimiento. Una de las máquinas es una simple esclusa de riego, una versión un poco más grande pero no muy diferente a las esclusas de las acequias que abundan en Mendoza. Lo curioso es que el mecanismo para levantar la puerta de la esclusa es claramente una figura imposible, aunque posiblemente se trate de un error de dibujo. Tal vez Taccola intentó mostrar al mismo tiempo cómo el eje en el que se enrolla la cuerda atraviesa los dos parantes y el dibujo se le deformó tan fiero que la parte visible de la puerta de madera, que debería tener forma de rectángulo, más bien tiene la de una hoja de guillotina dispuesta a decapitar la corriente de agua. Pero, ¿para qué dibujó un parante más largo que el otro? Es difícil saberlo. Lo cierto es que el resultado es similar a una de las más divulgadas figuras imposibles. Esta figura tiene la característica de hacer rotar un plano, de manera que un piso, figura imposible mediante, se transforma en una pared.

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La esclusa forma parte de un manuscrito de 1443 llamado Sobre las máquinas. Se lo puede encontrar aquí. La figura imposible está en la página 230. El manuscrito lleva el curioso subtítulo Primer libro del león. Segundo libro del dragón. Agregados. Tal vez el león y el dragón sean alegorías o metáforas fácil de comprender en la época. De hecho, en la página 151 aparece un dragón decididamente nada mecánico. En la página 115 hay una ilustración que, para mis ignorantes ojos, parece una máquina de movimiento perpetuo. Los lectores interesados quizás puedan detectar otros errores de dibujo (hay muchos) que formen figuras imposibles.

Queda una cuestión. ¿Por qué las figuras imposibles de Escher son arte y la de Taccola es apenas una equivocación? La diferencia es que Escher las redime de su condición de tal precisamente por que resalta el error, dándole significado, insertándolo en un entorno creíble para mostrar las consecuencias del mismo, cosa que Taccola jamás intenta. En otras palabras, la intención del artista transforma las equivocaciones en paradojas. Quien haya leído los libros de Bruno Ernst lo sabe.

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Soluciones (segunda parte)

Diego Uribe

Soluciones (segunda parte)
por Diego Uribe

Los propios límites

Muchas veces uno se plantea límites inexistentes. Mis propios límites me impidieron resolver con elegancia el siguiente acertijo.

En un país donde todo objeto enviado por correo que no está dentro de una caja cerrada con candado es invariablemente robado, Adán desea enviarle a Eva un regalo. Tanto Adán como Eva disponen de una gran variedad de candados. Lamentablemente, Adán no tiene llave de ninguno de los candados de Eva y viceversa. El cuestión es: ¿cómo hace Adán para que Eva reciba el regalo? Algunas aclaraciones. Los protagonistas están impedidos de encontrarse. Todo envío debe hacerse exclusivamente por correo (no personalmente) con candado cerrado con llave (en este país no hay candados con combinación). Eva debe poder usar el regalo; no basta con que reciba una caja que no puede abrir con el regalo adentro. Además, si se envía una caja con un candado sin cerrar o que en el correo puedan abrir, se robarán el candado más lo que la caja contenga.

solución

Markelo encontró una elegante solución al acertijo: «Adán coloca su regalo dentro de una caja, la cierra con candado y la envía por correo. Eva recibe la caja, le agrega un candado propio y se la devuelve a Adán por correo. Adán la recibe, quita su candado y vuelve a enviársela a Eva. Eva la recibe, abre su candado, mira el regalo y le envía una carta a Adán diciéndole que ella lo hubiera preferido de color rojo.» Lamentablemente, como la carta no iba en caja cerrada con candado, en el correo se la roban. Eva nunca entenderá por qué Adán persiste en enviarle regalos color patito.

Markelo cuenta que llegó a la solución al detectar una asimetría en el problema: si el que debía enviar el regalo era Adán, ¿para qué necesitaba Eva candados? Esto lo llevó a superar el límite que me detuvo a mí: una caja puede estar cerrada por más de un candado. Si se hace simétrico al acertijo, de manera que Adán y Eva deseen enviarse regalos mutuamente, el procedimiento de Markelo resulta similar al inventado por Diffie-Hellman para enviar un número secreto a través de un medio público; por ejemplo, el correo del acertijo.

Para entenderlo se requiere el concepto de módulo. El valor de x módulo y (x mod y) se obtiene restando y de x tantas veces como se pueda. El resto que queda es el valor buscado. Por ejemplo, 23 mod 5 = 3, porque 5 entra 4 veces en 23 y queda un resto de 3. Entonces:

• Adán, Eva o un tercero eligen un número primo p un número g al que llamaremos base. Estos números son públicos y podrán comunicarse por el medio que se desee. Supongamos que p = 19 y g = 2.

• Adán elige un número a y no se lo dice a nadie. En el acertijo, esto equivale a meter el regalo en la caja.

• Adán eleva a la base g a la potencia a; luego calcula el valor de ese resultado módulo p. Supongamos que Adán elige a = 6. Entonces, 2^6 = 64 (2^6 significa 2 elevado a la sexta potencia); 64 mod 19 = 7. Esto equivale a poner un candado en la caja.

• Adán comunica públicamente su resultado 7. En el acertijo, Adán envía por correo a Eva la caja.

• Eva elige un número b y realiza con él las mismas operaciones que Adán. Supongamos que Eva elige b = 5. Entonces, 25 = 32; 32 mod 19 = 13. Eva envía a Adán su resultado 13 por el medio público. Es decir, Eva envía a Adán su regalo en otra caja cerrada con un candado.

• Adán toma el resultado de Eva (13) y lo eleva al número que había elegido (6). Luego vuelve a sacar el valor módulo 19. 136 = 4826809; 4826809 mod 19 = 11. En el acertijo, Adán aplica su propio candado a la caja con candado de Eva y la devuelve.

• Eva hace lo mismo que Adán con sus propios valores: 75 = 16807; 16807 mod 19 = 11. Eva aplica su candado a la caja con candado de Adán y se la envía.

• Ahora ambos conocen el número secreto 11 y pueden usarlo como clave. En el acertijo, Adán y Eva tienen las cajas con doble candado; ahora pueden retirar los candados propios y enviarlas nuevamente, cerradas solamente con los candados de los receptores.

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Diego Uribe es experto en figuras imposibles.