(Viene de la parte 1.)
Contra lo que diría el sentido común, la respuesta correcta es la b. Las ondas de radio recorren 300 kilómetros en menos tiempo que el que tarda la música en recorrer las pocas decenas de metros que puede haber entre el escenario y la última fila.
Efectivamente, a la velocidad de la luz (300.000 kilómetros por segundo), las ondas de radio recorren 300 kilómetros en una milésima de segundo. A la velocidad del sonido (unos 300 metros por segundo) la música recorre treinta metros en una décima de segundo.
Pero esta respuesta cambió entre los años 60 y 70, debido a las transmisiones vía satélite.
Un satélite de comunicaciones se encuentra a unos 36.000 kilómetros de altura. Es decir que, en una transmisión vía satélite, las ondas de radio deben recorrer 36.000 kilómetros desde la emisora al satélite y otros 36.000 del satélite a la radio: 72.000 km en total. A la velocidad de la luz, ese recorrido les tomaría más o menos un cuarto de segundo. Más del doble que lo que tardan las ondas sonoras en el teatro.
De modo que, para una transmisión por satélite, la respuesta correcta es la a. Tal como indica el sentido común.
La idea de usar satélites artificiales para comunicaciones a largas distancias fue del escritor Arthur Clarke, recientemente fallecido. Una fotografía publicada en Página/12 lo muestra luciendo una camiseta con la inscripción «Yo inventé los satélites y todo lo que obtuve fue esta piojosa camiseta». Efectivamente, Clarke nunca registró su idea, que lo habría hecho millonario. Pero, como decía su amigo Isaac Asimov, no hay que tenerle lástima: de todas formas se las ingenió para hacerse millonario.
Un señor se retira a su habitación a las 19:00. Dispuesto a dormir varias horas, pone el despertador para que suene a las 8 de la mañana. ¿Cuántas horas duerme hasta que suena el despertador?
El acertijo anterior era muy conocido hace algunos años y puede ser que actualmente haya gente que no entienda cuál puede ser la gracia: si se acuesta a las 19 y el despertador suena a las 8 del día siguiente, es obvio que el señor dormirá trece horas.
Esto es cierto para la mayoría de los relojes actuales, digitales, con ciclo de veinticuatro horas. Pero los relojes más tradicionales, de agujas, cumplen un ciclo de doce horas. En la época en que se creó el acertijo, el señor solamente dormía una hora: el reloj sonaba a las ocho de la noche.
El anterior es un ejemplo de cómo la respuesta a un acertijo puede cambiar en función de un cambio tecnológico. No es el único:
Está por comenzar un concierto en un teatro. El teatro está lleno. El concierto se trasmite por radio a todo el país. El concierto comienza. ¿Quién escucha antes las primeras notas?
a) Un espectador sentado en la última fila.
b) Un radioescucha situado en una ciudad distante 300 km del teatro.
¿Cuál es la respuesta correcta y porqué esa respuesta puede depender de una cuestión tecnológica?
Basado en un capítulo del libro Físicamente. La respuesta del autor será publicada dentro de unos días, pero usted está invitado a dejar la suya en los comentarios.
La ley fuerte de los grandes números habla de frecuencias relativas, porcentaje de caras vs. porcentaje de cecas: conforme aumenta el número de tiradas, la frecuencia relativa tiende al 50-50. La falacia del jugador habla de frecuencias absolutas, cantidad de caras vs. cantidad de cecas.
Para entender la diferencia, supongamos que tiramos la moneda noventa veces más. Digamos que salen cincuenta caras y cuarenta cecas. Es decir que, contra lo que esperaba el jugador falaz, vuelven a predominar las caras. Sin embargo, teniendo en cuenta las cien tiradas, aparecieron en total 57 caras y 43 cecas. La frecuencia relativa es ahora de 57-43, más próxima al 50-50, como predice la ley fuerte de los grandes números.
En otras palabras, la tendencia hacia el 50-50, en términos relativos, no necesariamente implica que se equilibren las cantidades absolutas de caras y cecas.
Usted arroja al aire una moneda. La moneda es honesta (en el sentido de que, en cada tirada, la probabilidad de sacar cara es 50%, la misma que de sacar ceca). Sin embargo, por esas cosas del azar, en las primeras diez tiradas cae siete veces en cara y tres en ceca. Es decir, una relación 70-30 (70% cara 30% ceca).
Sabemos que esta relación no puede mantenerse: si sigue tirando la misma moneda, la relación deberá tender al 50-50. Es lo se llama «ley fuerte de los grandes números» o «de retorno al promedio».
Si en las primeras diez tiradas predominaron las caras y, a largo plazo, la relación debe equilibrarse, parece natural pensar que en las próximas tiradas predominarán las cecas. Esto es lo que predice la «falacia del jugador» y, como su nombre lo indica, es falso. La moneda no sabe lo que pasó en las últimas diez tiradas y, si es honesta, en cada nueva tirada la probabilidad de obtener ceca seguirá siendo del 50%.
La ley fuerte de los grandes números y la falacia del jugador parecen dos formas de decir lo mismo. Sin embargo, la primera es cierta y la segunda no. ¿Dónde falla el razonamiento del jugador que, pretendiendo aplicar la primera ley, aplica falazmente la segunda?
Tres problemas de matemática:
1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.
2. Encontrar dos números impares cuya suma también sea un número impar.
3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, empleando solamente regla y compás.
Estos tres problemas tienen algo en común: son imposibles de resolver. No es que sean muy complicados. No es que la matemática todavía no les encontró solución. Son imposibles de resolver porque son contradictorios. Lo que piden es necesariamente imposible.
La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, tiene cuatro lados. Ninguna figura que tenga solamente tres lados podrá ser un cuadrado.
Aunque no sea tan evidente, el segundo problema también es contradictorio. Puede demostrarse fácilmente que la suma de dos números impares debe ser necesariamente un número par.
Y el tercer problema también encierra una contradicción. Pero eso ya no es para nada evidente. Tan poco evidente resulta la contradicción que, durante siglos, los matemáticos han intentado hallarle solución a este ilustre problema. Y aún hoy, cuando su imposibilidad ya ha quedado demostrada sin lugar a dudas, todavía hay aficionados que insisten en la búsqueda. Se trata del famoso problema de la Cuadratura del círculo.
Hay quienes creen que la cuadratura del círculo es un problema de importancia fundamental, un problema cuya solución abrirá puertas al progreso matemático. O que, como ocurría con los números irracionales en la antigua Grecia, los matemáticos ocultan su solución porque encierra algún secreto misterioso. Acerca de esta imposibilidad, leemos en un libro sobre «los secretos» de las pirámides de Egipto:
En Geometría (llámese hermética, euclidiana o esférica) no existe ningún problema que no se pueda resolver, aunque sea con el aceptable error que nos proporcionen nuestros rudimentarios instrumentos.
En realidad, no es que no se pueda dibujar un cuadrado de superficie igual a la de un círculo dado. Lo imposible es hacerlo solamente con regla y compás.
La geometría es una de las ciencias más antiguas. Algunos piensan que nació en Egipto. Cada vez que la crecida del Nilo inundaba las tierras cultivables, se borraban todas las marcas que indicaban a quién pertenecía cada parcela. Y, entonces, había que medir todo de nuevo: trazar rectas, medir ángulos, determinar superficies. Así se fue desarrollando un conjunto de técnicas que hoy llamaríamos «agrimensura». Pero era geometría. Después de todo, agrimensura y geometría quieren decir lo mismo: medición de la tierra.
Fue Euclides (siglo IV antes de Cristo) el primero en poner en orden estas técnicas y elevarlas a la categoría de «ciencia exacta». Para ello, enunció una serie de «axiomas» o principios básicos muy sencillos de los que podría deducirse las propiedades de rectas, triángulos, círculos y todas las demás figuras.
Para resolver los problemas geométricos, se necesita papel, lápiz y algunos instrumentos auxiliares. Y así como Euclides trató de reducir al mínimo los axiomas básicos, también se propuso recurrir al menor número de instrumentos auxiliares.
Euclides decidió que podría arreglárselas con apenas dos instrumentos: una regla (sin graduaciones, sin marcas) y un compás (como el que usamos en la escuela). Estas eran las herramientas permitidas. Prohibido servirse de otra cosa.
Y parecían suficientes. Por ejemplo, usando regla y compás, se puede trazar la mediatriz de un segmento. En otras palabras: con regla y compás puede dividirse un segmento en dos partes iguales, y trazar la perpendicular a un segmento dado.
También, usando regla y compás, puede dibujarse un cuadrado con sus diagonales. Y si el lado de este cuadrado mide una unidad (un centímetro, una pulgada, un metro, no importa), la longitud de su diagonal deberá ser igual a la raíz cuadrada del número dos. En otras palabras: con regla y compás se puede calcular la raíz cuadrada de dos.
Hay muchas más operaciones aritméticas que pueden efectuarse gráficamente, usando solamente regla y compás. Pero también hay muchas otras que no pueden hacerse. No pueden calcularse raíces cúbicas, por ejemplo.
Un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado debe tener un lado proporcional a la raíz cuadrada del número π (3,14159…). Sacar la raíz cuadrada se puede. Pero obtener el número π como resultado de operaciones realizables sólo con regla y compás, no. Puede recurrirse a otros instrumentos, pero sólo con regla y compás no alcanza. ¿Por qué? No es algo fácil de explicar, pero está demostrado que π es de la clase de números que trascienden a las operaciones aritméticas simples. Por eso se dice que es un número trascendente.
Podemos encontrar un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado, si recurrimos a otros instrumentos. ¿Cuáles podrían ser esos otros instrumentos?
El más simple es una ruedita: un círculo que ruede sobre el papel. Si el diámetro de este círculo mide una unidad, el trazo que deja sobre el papel al avanzar girando una vuelta es exactamente igual a π. Una vez obtenido este trazo, el resto del problema es muy sencillo, ya que existen métodos para extraer la raíz cuadrada de un número, usando solamente regla y compás.
Usando compás, regla y la ruedita, se puede cuadrar el círculo. Pero el enunciado es claro: la cuadratura del círculo hay que hacerla usando solamente con regla y compás. En esas condiciones, el problema no tiene solución. Y no hay nada más que decir del asunto.
Este artículo está basado en un capítulo de su libro Fïsicamente (Ediciones de Mente, 1999).
En el sitio del departamento de matemática la Universidad Estatal de los Apalaches hay un programa para buscar números que «le erran por poco a Fermat» (Fermat near-miss). El programa, escrito en lenguaje C, prueba distintas combinaciones de x, y, z y n buscando las que satisfacen (o casi) la ecuación xn + yn = zn, donde x, y, z y n son números enteros y n es mayor que 2. Es decir, el programa busca contraejemplos al Último Teorema de Fermat.
Aunque el teorema de Fermat fue demostrado por Andrew Wiles entre 1993 y 1995, el programa encuentra números que satisfacen la ecuación xn + yn = zn con un error tan pequeño como se quiera. Por ejemplo 178212 + 184112 es casi igual a 192212. La diferencia aparece recién en la décima cifra significativa. Haciendo la cuenta en una calculadora común, estos números parecen contradecir el teorema.
Notablemente, el autor del programa es David S. Cohen, el mismo que aparece como David X. Cohen en los créditos de Futurama y que también fue guionista de Los Simpsons. Y, no por casualidad, la ecuación 178212 + 184112 = 192212 puede verse en uno de los cuadros del Especial de Noche de Brujas VI, aquél en que Homero se interna en la tercera dimensión. (No en la cuarta; en la tercera. Después de todo, él es un dibujo de dos dimensiones).
Cohen tiene un título en física en la Universidad de Harvard y un master en ciencias de la computación en la de Berkeley. Otros integrantes del staff Simpsons-Futurama tienen formación científica. Como Jeff Westbrook, doctor en computación en Princeton o Ken Keeler, doctor en matemática aplicada en Harvard. A ellos les debemos las muchas alusiones a temas científicos en ambas series: al efecto Coriolis (Bart contra Australia), a las leyes de la termodinámica (Huelga de maestros), al principio de incertidumbre de Heisemberg (La suerte de los Fry) y otras más sutiles.
Por ejemplo, en el especial de navidad de 1999 de Futurama nos enteramos de que el robot Bender es el hijo número 1729 de su madre (¿los robots tienen madres?). La elección de este número no es casual. En 1918 el matemático inglés Hardy fue a visitar a su colega indio Ramanujan. Hardy comentó que había tomado el taxi número 1729. «Un número bastante aburrido», agregó. «Por el contrario», contestó Ramanujan. «Es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos, de dos maneras distintas». Efectivamente 1729 = 10³ + 9³ = 1³ + 12³. No se sabe si Ramanujan conocía el resultado de antemano, si lo calculó en el momento, o si lo percibió «como una iluminación», como él mismo solía decir.
Una vez le preguntaron a Ken Keeler si valía la pena obtener un doctorado para terminar escribiendo un dibujo animado. Keeler dijo que la oportunidad de hacer un chiste con el 1729 en Futurama justifica seis años de estudios universitarios. Totalmente de acuerdo.
(Todas las ilustraciones © Matt Groening.)
