Anagramas

Claudio H. Sánchez

Anagramas
por Claudio H. Sánchez

En Paren el mundo, me quiero bajar (Especial de Noche de Brujas XIV) Bart y Milhouse consiguen un reloj que detiene el tiempo. Mientras el tiempo está detenido hacen mil travesuras en toda la ciudad por lo que el alcalde convoca a una asamblea para tratar la situación.

En la sede del gobierno, un cartel anuncia el motivo de la convocatoria: recent strange events (extraños acontecimientos recientes). En sucesivas detenciones del tiempo, Bart y Milhouse reordenan las letras para formar otras frases: never eat greens (nunca coman vegetales), tv teens get acne (los adolescentes de la tele contraen acné), gents rear ten cents (traseros de caballeros a diez centavos). Estas frases no son anagramas porque no se usan siempre las mismas letras.

En 1678 Robert Hooke publicó la «palabra» ceiiinosssttuv para registrar su prioridad sobre la ley que describe la deformación de los cuerpos elásticos. Reordenando las letras resulta sic vis ut tensio: tal la fuerza, así es la deformación.

Haciendo un uso libre del latín, con las mismas letras podemos formar otras frases: visco in situ est (el pegamento está en su lugar), vinicius testos (los testículos de Vinicio), sinite viscotus (permitan lo pegajoso) o sinteticus ovis (huevo sintético).

Estas frases son creación del físico y docente Agustín Rela que, en su libro Divagaciones, aclara que la última frase no sugiere que Hooke haya vislumbrado la ingeniería genética.

Hacer un comentario

El teorema del millón de monos

Claudio H. Sánchez

El teorema del millón de monos
por Claudio H. Sánchez

En Última salida a Springfield Homero es designado presidente del sindicato en la planta nuclear. Para corromperlo, el Sr. Burns lo invita a su mansión. Entre las extravagancias que vemos en su casa figura una habitación llena de monos escribiendo a máquina. Burns explica: «aquí tenemos mil monos trabajando en mil máquinas de escribir. Pronto habrán escrito la más grande novela de toda la humanidad». Burns se acerca a una máquina y lee algo que podemos traducir como: «era la mejor y la pleor de todas las épocas» que, con un pequeño error, corresponde al comienzo de Historia de dos ciudades, de Charles Dickens.

Esta escena parodia al llamado Teorema del millón de monos, enunciado por el físico francés Émile Borel en 1913. El teorema tiene distintos enunciados, pero esencialmente dice que un millón de monos, aporreando un millón de máquinas de escribir durante un millón de años, terminarían por escribir cualquier libro, como El Quijote o las obras completas de Shakespeare.

La idea es que un libro (cualquier texto, en general) consiste en una secuencia de letras, números y signos de puntuación. Un dispositivo que genere combinaciones aleatorias de estos símbolos, tarde o temprano producirá todas las combinaciones posibles. Los monos aporreando máquinas serían este dispositivo.

Algunos números

Mr TeenyConsideremos por ejemplo, las palabras de cinco letras, como LIBRO, MESAS, o HABER. Cada palabra puede comenzar con cualquiera de las veintisiete letras del alfabeto. Para cada uno de estos comienzos hay veintisiete posibilidades para la segunda letra. Es cierto que hay pocas palabras que comienzan con una letra repetida (por ejemplo, LLAVE) pero un mono (o un generador aleatorio) no lo sabe. Entonces hay 27 por 27 (setecientos veintinueve) combinaciones posibles de dos letras. Para cada una de estas combinaciones hay veintisiete posibilidades para la tercera letra. Y así sucesivamente. En resumen, la cantidad de combinaciones de cinco letras que se pueden obtener en nuestro alfabeto es 27 por 27 por 27 por 27 por 27. Eso es igual a algo más de catorce millones. Si nuestro dispositivo generara cien de estas combinaciones por segundo, tardaría poco más de un día y medio y producirlas a todas.

Parece un tiempo modesto. Pero eso es sólo para una palabra de cinco letras. Si consideramos una frase de sesenta caracteres (más o menos la longitud de estos renglones), habría 28, multiplicado por sí mismo sesenta veces. Son 28 porque hay que agregar el espacio de separación entre palabras. Eso es un número inmensamente grande de combinaciones, y el generador aleatorio tardaría en obtenerlas más tiempo (mucho más tiempo) que el transcurrido desde el Big Bang. Ni pensar en un libro de tamaño razonable.

Sin embargo, la idea central del teorema es que la cantidad de libros posibles, escritos o por escribir, es finita. Antes calculamos que en un día y medio nuestro generador aleatorio produciría todas las palabras posibles de cinco letras, en cualquier idioma que use el alfabeto latino. Incluyendo las que podría balbucear un bebé o las onomatopeyas de cualquier animal. Trabajando más tiempo terminaría por escribir cualquier libro, incluyendo las tragedias perdidas de Sófocles, las obras completas de los escritores aún por nacer o una recopilación de nuestras composiciones escolares.

Los monos de Borges

La idea detrás del teorema del millón de monos se usado muchas veces en la literatura. Uno de los ejemplos más notables es La biblioteca de Babel, de Jorge Luis Borges. El cuento compara al universo con una biblioteca dotada de libros, todos iguales en formato: cuatrocientas diez páginas por libro, cuarenta renglones por página, ochenta caracteres por renglón.

Con esto podemos calcular la longitud de la secuencia de símbolos que forma cada libro: 410 por 40 por 80. Eso es igual a un millón trescientos doce mil caracteres. Se nos dice también que el alfabeto usado en la escritura contiene veinticinco símbolos. De modo que la cantidad de combinaciones posibles, la cantidad de libros posibles en esta biblioteca es veinticinco, multiplicado por sí mismo un millón trescientos doce mil veces. Un número tan inimaginable como el calculado antes para los renglones.

Borges (en realidad, el narrador del cuento) señala que muchos de estos libros contienen secuencias sin sentido. Por ejemplo, uno contiene las letras MCV repetidas a lo largo de todas las páginas. Otro consiste en «un mero laberinto de letras sin sentido», excepto por la frase «Oh tiempo tus pirámides» en la penúltima página. En cualquier caso, la biblioteca contiene todos los libros posibles, y su proveedor podría ser el equipo de monos del teorema.

Borges se inspiró para este relato en el cuento La biblioteca universal, escrito por el alemán Kurd Lasswitz en 1901. En él dos personas discuten sobre la cantidad y variedad de libros. Uno de los protagonistas demuestra que la cantidad es finita (aunque inmensamente grande).

También en Los viajes de Gulliver hay una alusión al teorema del millón de monos. En la academia de Lagado hay una máquina que consiste en muchísimos cubos enhebrados en alambres. Los cubos pueden girar alrededor de los alambres y tienen impresos los distintos símbolos del idioma del lugar. Al hacer girar todos los cubos se generan combinaciones aleatorias, algunas de las cuales los académicos copian para recopilar todas las obras posibles.

Otro relato acerca del teorema es Lógica inflexible, del escritor Russel Maloney. En este caso el protagonista decide comprobar el teorema empíricamente y pone a seis monos a trabajar en sendas máquinas de escribir. Para su sorpresa, los monos escriben libros de Shakespeare, de Homero, de Dickens sin producir ninguna secuencia aleatoria.

Monos virtuales

En 2003 científicos de la Universidad de Plymouth, en Devon, Inglaterra, llevaron a la práctica una comprobación del teorema: dejaron un teclado en la jaula de los monos del Zoológico de Paignton. Los monos solamente escribieron largas tiras de la letra S mientras orinaban y defecaban sobre el teclado.

A falta de monos, la generación de secuencias de caracteres se puede hacer fácilmente en una computadora. Existen en internet muchas páginas con ese objetivo. Por ejemplo, el primero de julio de 2003 se puso en marcha el sitio The Monkey Shakespeare Simulator. Contiene un programa escrito en lenguaje Java que simula un conjunto de monos tipeando aleatoriamente. El objetivo es producir alguna obra de Shakepeare o un fragmento. Hasta ahora los mejores resultados obtenidos fueron un texto de 24 letras contenido en Enrique IV y otro de 30, correspondiente a Julio César. (Aparentemente, el proyecto fue suspendido.)

Del mismo estilo es The fantastic typing Cybermonkey. La página invita a los visitantes a reportar cualquier coincidencia entre las secuencias obtenidas y algún monólogo de Hamlet.

Claudio H. Sánchez tiene la amabilidad de compartir con los lectores de juegosdeingenio.org este capítulo de su futuro libro sobre la ciencia en Los Simpson.

13 comentarios

De la tecnología y los acertijos (2)

Claudio H. Sánchez

De la tecnología y los acertijos (2)
por Claudio H. Sánchez

(Viene de la parte 1.)

Contra lo que diría el sentido común, la respuesta correcta es la b. Las ondas de radio recorren 300 kilómetros en menos tiempo que el que tarda la música en recorrer las pocas decenas de metros que puede haber entre el escenario y la última fila.

Efectivamente, a la velocidad de la luz (300.000 kilómetros por segundo), las ondas de radio recorren 300 kilómetros en una milésima de segundo. A la velocidad del sonido (unos 300 metros por segundo) la música recorre treinta metros en una décima de segundo.

Pero esta respuesta cambió entre los años 60 y 70, debido a las transmisiones vía satélite.

Un satélite de comunicaciones se encuentra a unos 36.000 kilómetros de altura. Es decir que, en una transmisión vía satélite, las ondas de radio deben recorrer 36.000 kilómetros desde la emisora al satélite y otros 36.000 del satélite a la radio: 72.000 km en total. A la velocidad de la luz, ese recorrido les tomaría más o menos un cuarto de segundo. Más del doble que lo que tardan las ondas sonoras en el teatro.

De modo que, para una transmisión por satélite, la respuesta correcta es la a. Tal como indica el sentido común.

La idea de usar satélites artificiales para comunicaciones a largas distancias fue del escritor Arthur Clarke, recientemente fallecido. Una fotografía publicada en Página/12 lo muestra luciendo una camiseta con la inscripción «Yo inventé los satélites y todo lo que obtuve fue esta piojosa camiseta». Efectivamente, Clarke nunca registró su idea, que lo habría hecho millonario. Pero, como decía su amigo Isaac Asimov, no hay que tenerle lástima: de todas formas se las ingenió para hacerse millonario.

6 comentarios

De la tecnología y los acertijos (1)

Claudio H. Sánchez

De la tecnología y los acertijos (1)
por Claudio H. Sánchez

Un señor se retira a su habitación a las 19:00. Dispuesto a dormir varias horas, pone el despertador para que suene a las 8 de la mañana. ¿Cuántas horas duerme hasta que suena el despertador?

El acertijo anterior era muy conocido hace algunos años y puede ser que actualmente haya gente que no entienda cuál puede ser la gracia: si se acuesta a las 19 y el despertador suena a las 8 del día siguiente, es obvio que el señor dormirá trece horas.

Esto es cierto para la mayoría de los relojes actuales, digitales, con ciclo de veinticuatro horas. Pero los relojes más tradicionales, de agujas, cumplen un ciclo de doce horas. En la época en que se creó el acertijo, el señor solamente dormía una hora: el reloj sonaba a las ocho de la noche.

El anterior es un ejemplo de cómo la respuesta a un acertijo puede cambiar en función de un cambio tecnológico. No es el único:

Está por comenzar un concierto en un teatro. El teatro está lleno. El concierto se trasmite por radio a todo el país. El concierto comienza. ¿Quién escucha antes las primeras notas?
a) Un espectador sentado en la última fila.
b) Un radioescucha situado en una ciudad distante 300 km del teatro.

¿Cuál es la respuesta correcta y porqué esa respuesta puede depender de una cuestión tecnológica?

Basado en un capítulo del libro Físicamente. La respuesta del autor será publicada dentro de unos días, pero usted está invitado a dejar la suya en los comentarios.

7 comentarios

La falacia del jugador (2)

Claudio H. Sánchez

La falacia del jugador (2)
por Claudio H. Sánchez

La ley fuerte de los grandes números habla de frecuencias relativas, porcentaje de caras vs. porcentaje de cecas: conforme aumenta el número de tiradas, la frecuencia relativa tiende al 50-50. La falacia del jugador habla de frecuencias absolutas, cantidad de caras vs. cantidad de cecas.

Para entender la diferencia, supongamos que tiramos la moneda noventa veces más. Digamos que salen cincuenta caras y cuarenta cecas. Es decir que, contra lo que esperaba el jugador falaz, vuelven a predominar las caras. Sin embargo, teniendo en cuenta las cien tiradas, aparecieron en total 57 caras y 43 cecas. La frecuencia relativa es ahora de 57-43, más próxima al 50-50, como predice la ley fuerte de los grandes números.

En otras palabras, la tendencia hacia el 50-50, en términos relativos, no necesariamente implica que se equilibren las cantidades absolutas de caras y cecas.

1 comentario

La falacia del jugador (1)

Claudio H. Sánchez

La falacia del jugador (1)
por Claudio H. Sánchez

Usted arroja al aire una moneda. La moneda es honesta (en el sentido de que, en cada tirada, la probabilidad de sacar cara es 50%, la misma que de sacar ceca). Sin embargo, por esas cosas del azar, en las primeras diez tiradas cae siete veces en cara y tres en ceca. Es decir, una relación 70-30 (70% cara 30% ceca).

Sabemos que esta relación no puede mantenerse: si sigue tirando la misma moneda, la relación deberá tender al 50-50. Es lo se llama «ley fuerte de los grandes números» o «de retorno al promedio».

Si en las primeras diez tiradas predominaron las caras y, a largo plazo, la relación debe equilibrarse, parece natural pensar que en las próximas tiradas predominarán las cecas. Esto es lo que predice la «falacia del jugador» y, como su nombre lo indica, es falso. La moneda no sabe lo que pasó en las últimas diez tiradas y, si es honesta, en cada nueva tirada la probabilidad de obtener ceca seguirá siendo del 50%.

La ley fuerte de los grandes números y la falacia del jugador parecen dos formas de decir lo mismo. Sin embargo, la primera es cierta y la segunda no. ¿Dónde falla el razonamiento del jugador que, pretendiendo aplicar la primera ley, aplica falazmente la segunda?

23 comentarios

La cuadratura del círculo

Claudio H. Sánchez

La cuadratura del círculo
por Claudio H. Sánchez

Tres problemas de matemática:

1. Dibujar un cuadrado que tenga solamente tres lados.
2. Encontrar dos números impares cuya suma también sea un número impar.
3. Dado un círculo, dibujar un cuadrado que tenga la misma superficie, empleando solamente regla y compás.

Estos tres problemas tienen algo en común: son imposibles de resolver. No es que sean muy complicados. No es que la matemática todavía no les encontró solución. Son imposibles de resolver porque son contradictorios. Lo que piden es necesariamente imposible.

La contradicción es evidente en el primer problema. Un cuadrado, por definición, tiene cuatro lados. Ninguna figura que tenga solamente tres lados podrá ser un cuadrado.

Aunque no sea tan evidente, el segundo problema también es contradictorio. Puede demostrarse fácilmente que la suma de dos números impares debe ser necesariamente un número par.

Y el tercer problema también encierra una contradicción. Pero eso ya no es para nada evidente. Tan poco evidente resulta la contradicción que, durante siglos, los matemáticos han intentado hallarle solución a este ilustre problema. Y aún hoy, cuando su imposibilidad ya ha quedado demostrada sin lugar a dudas, todavía hay aficionados que insisten en la búsqueda. Se trata del famoso problema de la Cuadratura del círculo.

Hay quienes creen que la cuadratura del círculo es un problema de importancia fundamental, un problema cuya solución abrirá puertas al progreso matemático. O que, como ocurría con los números irracionales en la antigua Grecia, los matemáticos ocultan su solución porque encierra algún secreto misterioso. Acerca de esta imposibilidad, leemos en un libro sobre «los secretos» de las pirámides de Egipto:

En Geometría (llámese hermética, euclidiana o esférica) no existe ningún problema que no se pueda resolver, aunque sea con el aceptable error que nos proporcionen nuestros rudimentarios instrumentos.

En realidad, no es que no se pueda dibujar un cuadrado de superficie igual a la de un círculo dado. Lo imposible es hacerlo solamente con regla y compás.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Algunos piensan que nació en Egipto. Cada vez que la crecida del Nilo inundaba las tierras cultivables, se borraban todas las marcas que indicaban a quién pertenecía cada parcela. Y, entonces, había que medir todo de nuevo: trazar rectas, medir ángulos, determinar superficies. Así se fue desarrollando un conjunto de técnicas que hoy llamaríamos «agrimensura». Pero era geometría. Después de todo, agrimensura y geometría quieren decir lo mismo: medición de la tierra.

Georg Marius: Paralipomena Et Marginalia Hortvlanica, 1586

Fue Euclides (siglo IV antes de Cristo) el primero en poner en orden estas técnicas y elevarlas a la categoría de «ciencia exacta». Para ello, enunció una serie de «axiomas» o principios básicos muy sencillos de los que podría deducirse las propiedades de rectas, triángulos, círculos y todas las demás figuras.

Para resolver los problemas geométricos, se necesita papel, lápiz y algunos instrumentos auxiliares. Y así como Euclides trató de reducir al mínimo los axiomas básicos, también se propuso recurrir al menor número de instrumentos auxiliares.

Euclides decidió que podría arreglárselas con apenas dos instrumentos: una regla (sin graduaciones, sin marcas) y un compás (como el que usamos en la escuela). Estas eran las herramientas permitidas. Prohibido servirse de otra cosa.

Y parecían suficientes. Por ejemplo, usando regla y compás, se puede trazar la mediatriz de un segmento. En otras palabras: con regla y compás puede dividirse un segmento en dos partes iguales, y trazar la perpendicular a un segmento dado.

También, usando regla y compás, puede dibujarse un cuadrado con sus diagonales. Y si el lado de este cuadrado mide una unidad (un centímetro, una pulgada, un metro, no importa), la longitud de su diagonal deberá ser igual a la raíz cuadrada del número dos. En otras palabras: con regla y compás se puede calcular la raíz cuadrada de dos.

Hay muchas más operaciones aritméticas que pueden efectuarse gráficamente, usando solamente regla y compás. Pero también hay muchas otras que no pueden hacerse. No pueden calcularse raíces cúbicas, por ejemplo.

Un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado debe tener un lado proporcional a la raíz cuadrada del número π (3,14159…). Sacar la raíz cuadrada se puede. Pero obtener el número π como resultado de operaciones realizables sólo con regla y compás, no. Puede recurrirse a otros instrumentos, pero sólo con regla y compás no alcanza. ¿Por qué? No es algo fácil de explicar, pero está demostrado que π es de la clase de números que trascienden a las operaciones aritméticas simples. Por eso se dice que es un número trascendente.

Podemos encontrar un cuadrado cuya superficie sea igual a la de un círculo dado, si recurrimos a otros instrumentos. ¿Cuáles podrían ser esos otros instrumentos?

El más simple es una ruedita: un círculo que ruede sobre el papel. Si el diámetro de este círculo mide una unidad, el trazo que deja sobre el papel al avanzar girando una vuelta es exactamente igual a π. Una vez obtenido este trazo, el resto del problema es muy sencillo, ya que existen métodos para extraer la raíz cuadrada de un número, usando solamente regla y compás.

Usando compás, regla y la ruedita, se puede cuadrar el círculo. Pero el enunciado es claro: la cuadratura del círculo hay que hacerla usando solamente con regla y compás. En esas condiciones, el problema no tiene solución. Y no hay nada más que decir del asunto.

Este artículo está basado en un capítulo de su libro Fïsicamente (Ediciones de Mente, 1999).

97 comentarios

Anteriores


Claudio H Sánchez

Claudio H Sánchez

Claudio H Sánchez es físico y autor de varios libros.