Una vez al año

Una vez al año
el favorito de Rodolfo Valeiras

Un determinado suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca en un año dado?

Posiblemente este es mi problema favorito entre todos los que he conocido, aunque no sea un problema de ingenio típico. Me gusta sobre todo por la elegancia de su formulación, y también por la elegancia de su resultado. Todavía recuerdo mi perplejidad cuando me enfrenté a él por primera vez; tenía la sensación de que faltaba algo, o de que no lo entendía bien. Sólo cuando fui capaz de formularlo de otra forma me di cuenta de que no faltaba nada, de que el enunciado era perfecto.

Y esa es otra de las cosas que más apetecible me resulta en un problema: que se deje transformar, o incluso que pida ser transformado. Como punto débil, desde cierto punto de vista, tal vez tenga el defecto de ser demasiado matemático. Quiero decir, que si bien se puede razonar sin ella y llegar a un resultado satisfactorio, cierta cultura matemática, aunque no muy profunda, facilita su resolución, y, digamos, su degustación.

Un comienzo de solución

¿Qué quiere decir que un determinado suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año? Imaginé una fila infinita de cajas; algunas están vacías; otras tienen dentro un guijarro; otras, varios guijarros. Pero, por término medio, cada caja tiene un guijarro. ¿Qué quiere decir, una vez más, que cada caja, por término medio, tiene un guijarro? Este es el punto más delicado del razonamiento. Como ser finito prefiero razonar con números finitos, incluso, si puedo, con números pequeños. Si hubiera una caja, tendría un guijarro dentro. Si hubiera dos cajas, habría dos guijarros, tal vez los dos en la misma caja, tal vez uno en cada una. Con tres cajas tendríamos tres guijarros, sin que sepamos su distribución. Los mismo, con cuatro cajas, o cinco, o seis… Si, en general tenemos un número n de cajas tendremos también n piedrecitas. ¿Cuál es la probabilidad, en esas condiciones, de elegir al azar una caja, y encontrar uno o más guijarros dentro? O mejor, ¿cuál es la probabilidad de no encontrar ninguno?

Rodolfo ValeirasRodolfo Valeiras es aficionado a las matemáticas, a los rompecabezas y a las palabras. Su excelente sitio web es de visita obligada para todo aquel interesado en esos temas. Es coautor de Orden en el caos, un libro acerca de rompecabezas de movimientos secuenciales, y ya plantó un árbol. Trabaja como maestro en la bahía de Cádiz, al sur de España.

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Uno de pensamiento lateral

Uno de pensamiento lateral
el favorito de Fernando Chorny

Un hombre empuja su auto hasta detenerse frente a un hotel. En ese momento comprende que está en bancarrota. ¿Cómo se explica esta situación?

(ADVERTENCIA: El siguiente comentario contiene la solución del problema. El lector que no desee conocerla puede leerlo bajando línea a línea, sabiendo que avisaré claramente antes de mencionar la solución, cosa que no ocurrirá hasta el cuarto párrafo.)

Por supuesto que, ante una situación tan general y una pregunta tan abierta, hay una infinidad de respuestas posibles. Sin embargo, la verdadera respuesta se reconoce entre todas las demás por lo elegante y reveladora que resulta. Podría asegurar que quien encuentra la respuesta no tendrá ninguna duda de haberla encontrado o, contrarrecíprocamente (para hablar en términos lógicos) que si alguien tiene dudas acerca de la respuesta que está considerando, es porque esa respuesta no es la correcta.

Los acertijos favoritos son tan volubles como las novelas favoritas, las películas favoritas o las canciones favoritas: van cambiando según inspiraciones del momento. Cuando tuve que pensar en mi acertijo favorito, éste fue el que acudió a mi conciencia en forma espontánea. Me decidí por él, entonces, en respeto a esa selección natural de mi inconsciente, sin preguntarme por qué se ocupó de traerlo a primer plano.

En una segunda instancia, quise indagar un poco y pensar qué es lo que me gusta tanto de este acertijo. Aclaro de entrada que no es esperable (aunque tampoco es imposible) que el acertijo se resuelva de un vistazo. La idea de este tipo de acertijos es contar con un interlocutor que ya conoce la solución y a quien se le puede hacer preguntas para ser respondidas por “Sí”, “No” o “No tiene importancia”. Creo que las mejores horas de entretenimiento que me ha dado este acertijo transcurrieron en el rol de responder las preguntas. Es muy interesante (y por momentos sumamente divertido) acompañar a los que intentan resolverlo por los intrincados caminos que les toca recorrer. Para comentar alguno de ellos, me veo en la necesidad de exhibir la respuesta. Puede detener su lectura al final de este párrafo y pedirle a otro que continúe leyendo, para que luego pueda guiarlo en la resolución.

El hombre empujaba su auto hasta que se detuvo frente a un hotel porque estaba jugando al Monopoly. Según la experiencia, en una de las posibles aproximaciones a la solución, el que pregunta se concentra en las características del auto, hasta que, arduamente, termina por averiguar que se trata de un auto de juguete. Es muy curioso que la inferencia de que el hotel es también de juguete casi nunca es inmediata y entonces el escenario que se configura es el de un hombre que va por la calle empujando un auto de juguete hasta detenerse frente a un hotel de verdad. La revelación final de que el hotel también es de juguete suele generar un cambio de escala abrupto en el imaginario del que pregunta. En este cambio de escala todo se comprime hasta converger en la solución: la calle y la bancarrota también son de juguete.

Fernando ChornyFernando Chorny es profesor de matemáticas, arquero de fútbol y experto en el juego del diccionario. Vive en un piso dieciséis y tiene una gata llamada Katrina.

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Batalla naval

Batalla naval
el favorito de Marcelo Iglesias

Para un amante de los acertijos es un poco difícil elegir uno en particular que sea el favorito. Cualquiera de los mencionados hasta ahora en esta sección bien podría serlo.

Meditando en cuál sería mi decisión, finalmente me incliné, no por uno, sino por una familia de juegos. Disfruto mucho resolviendo aquellos problemas que se desarrollan sobre un tablero cuadriculado, en el cual, mediante algunas pistas hay que descubrir la posición o el recorrido de ciertas piezas.

Hay infinidad de variantes. Quizá el más paradigmático de todos sea la Batalla naval.

Sobre un tablero de 10 x 10 se ha escondido una flota de 10 barcos:

1 acorazado de 4 casillas
2 cruceros de 3 casillas
3 destructores de 2 casillas
4 submarinos de 1 casilla

Los barcos están colocados en horizontal o vertical y no se tocan entre sí, ni siquiera en diagonal. Los números a los costados del tablero indican la cantidad de casillas ocupadas que hay en la respectiva fila o columna. Algunas casillas se dan ya marcadas indicando si está ocupada por agua, por un submarino, o por el extremo o el centro de un barco.

Un ejemplo simple para resolver es el siguiente:

Batalla naval

Estos problemas (cuando están bien construidos) se pueden resolver a pura lógica y sin nada de tanteo. Los hay de varios niveles de dificultad, aunque en general son muy fáciles.

Lo que más me gusta de la batalla naval es que su estructura nos permite generar una gran cantidad de variantes:

• Podemos modificar la forma de los barcos: pentominós u otros poliominós, números, letras, triángulos, tamgrams, piezas de ajedrez o la forma que se nos ocurra por extravagante que parezca (llaves, termómetros, etc).
• Podemos modificar la forma del tablero: Más grande, o más chico, triángular, hexagonal, cilíndrico, tórico, cúbico, con islas, con bordes irregulares, etc.
• Podemos modificar la manera de dar las pistas: menos pistas, o más, dentro del tablero, con letras, con ecuaciones, con flechas, con vigías, o con cualquier otra marca o seña que se nos ocurra.

Como ejemplo, les propongo una variante que he llamado Batalla naval mentirosa.

Se resuelve como un problema común, pero ahora tenemos dos números (a la derecha y abajo) que indican cuántas casillas ocupadas por la flota hay en la correspondiente fila o columna, pero sólo uno de los datos es verdadero y deberán determinar cuál.

Batalla naval mentirosa

Algunos links interesantes:

Cómo resolver batallas navales (PDF en inglés)
Problemas para resolver online (requiere Java; en inglés)
Problemas para resolver online (requiere Java; en holandés, pero se entiende)
Catálogo de variantes de Batalla naval (en inglés)
Decenas de links a problemas y artículos relacionados

Marcelo IglesiasMarcelo Iglesias es integrante de Los Acertijeros y editor de Pequeños enigmas, un excelente y popular sitio web dedicado a acertijos, juegos y problemas de ingenio. Vive en San Miguel de Tucumán, donde suele pelearse con los taxistas.

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Rompecabezas de tres piezas de Stewart Coffin

Rompecabezas de tres piezas de Stewart Coffin
el favorito de Ed Pegg Jr.

El rompecabezas tiene tres piezas. Cada una está formada por tres o cuatro cubos, unidos entre sí por media cara o por un cuarto de cara; en total se usan diez cubos. El objetivo es ensamblar las tres piezas para dejar una figura simétrica. Aquí se puede ver el diseño de las piezas.

El rompecabezas fue creado por Stewart Coffin. Si visitamos la colección de un especialista, este rompecabezas es el más simple entre los que se exhiben en un lugar destacado. Parece muy sencillo de resolver, pero termina siendo deliciosamente complicado. Y es muy fácil de construir. Coffin lo diseñó a pedido de una compañía que buscaba un regalo publicitario. La figura debía reproducir el logo de la compañía; cuando encontró las tres piezas, encajaron perfectamente entre sí.

Ed Pegg Jr.Ed Pegg Jr. es experto en matemáticas recreativas. Mantiene un sitio web fundamental para todos los aficionados, MathPuzzle.com, y participa activamente en actividades acertijeras alrededor del mundo. Actualmente vive en Illinois y trabaja en Wolfram Research.

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Las cuarenta infieles

Las cuarenta infieles
el favorito de Gustavo Piñeiro

Hay un pequeño pueblo, de unos pocos cientos de habitantes, en el que ocurren los siguientes hechos sorprendentes:

1. Todos los hombres son lógicos perfectos y cada uno sabe que los demás lo son.
2. Cada hombre conoce al dedillo el comportamiento de cada una de las mujeres del pueblo, salvo el de su propia esposa, si es que se trata de un hombre casado. Por otra parte, está absolutamente prohibido hablarle a un hombre de su esposa.
3. Una costumbre machista ancestral impone que el hombre que descubra la infidelidad de su mujer debe llevarla esa misma noche a la plaza del pueblo y, con las campanadas de la medianoche, matarla a tiros.
4. Hay 40 mujeres infieles en el pueblo.

La vida seguía su curso normal, cuando un día de junio, exactamente el primero del mes, el alcalde convocó a todos los hombres y les dijo:

–Lamento mucho tener que decir lo siguiente, pero es necesario: en este pueblo hay al menos una mujer infiel.

La reunión terminó y los hombres se dispersaron.

¿Qué es lo que ocurrió, si es que ocurrió algo, y cuándo?

En Estrella de Plata, uno de los relatos de Arthur Conan Doyle sobre las aventuras de Sherlock Holmes, se produce este notable diálogo:

–¿Existe algún otro detalle acerca del cual desearía usted llamar mi atención?– preguntó el inspector.
–Sí, acerca del curioso incidente del perro aquella noche.
–El perro no intervino para nada.
–Ése es precisamente el incidente curioso– dijo como comentario Sherlock Holmes.

En este acertijo, igual que el diálogo sherlockiano, la información esencial no se obtiene de los hechos que suceden sino, por el contrario, de los que no suceden.

Parece admitir la siguiente solución, que es tentadora pero errónea: todos los hombres sabían, desde mucho antes de que hablara el alcalde, que había en el pueblo al menos una mujer infiel. La declaración del alcalde no aporta ninguna información que no fuera previamente conocida. En consecuencia la respuesta es que no sucede nada.

Hay muchas versiones de este acertijo, con personajes y situaciones diversas; la que presento fue extraída de Juegos para Gente De Mente, edición especial Nº 4, septiembre de 1986.

Gustavo PiñeiroGustavo Piñeiro es aficionado a la literatura policial y de ciencia ficción, a los problemas de ingenio y también al humor negro. Vive en Caballito con su esposa y sus dos hijas.

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La paloma y los dos trenes

La paloma y los dos trenes
el favorito de Héctor San Segundo

Dos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas, uno a 70 y el otro a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela desde la locomotora del primero a la del segundo. Nada más llegar, da media vuelta y regresa a la del primero. Y así va volando de locomotora a locomotora.

Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá volado la paloma cuando los dos trenes se encuentren?

¿Cómo decidir cuál es mi acertijo preferido? ¡Hay tantos y tan buenos y de tan distinta naturaleza! Algunos me gustan porque constituyen un desafío a mi inteligencia. Otros me gustan porque permiten soluciones mejoradas y estimulan en mí el espíritu de superación. Otros me gustan porque son concisos, es decir, de un enunciado simple surge un problema más complicado de lo que parece a simple vista. Otros también me gustan porque parecen muy complejos y luego se resuelven como por arte de magia. En definitiva: me gustan las cuestiones complicadas, pero, en realidad, soy un simplista. Entonces, mi acertijo preferido es «la paloma y los dos trenes» porque puede parecer complicado, pero, se resuelve mediante un procedimiento muy sencillo.

Héctor San SegundoHéctor San Segundo es fruticultor en el Alto Valle del Río Negro y un activo impulsor de iniciativas acertijeras. Su familia hacía vino. Junto a su esposa y sus hijos vive en una casa amplia con nogales frente a la puerta.

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Un problema de análisis retrógrado

Un problema de análisis retrógrado
el favorito de Éric Angelini

En este tablero todas las piezas parecen del mismo bando, pero en realidad algunas son blancas y otras son negras. Determinar el color de cada una. ¿Cuál fue la última movida? (Autor: G. Husserl, 1966/71.)

Ajedrez retrógrado

Mi juego de tablero favorito es el ajedrez —y el ajedrez siempre fue una fuente inagotable de acertijos deliciosos. Para mí, el análisis retrógrado lo supera a todo, y el problema que elegí, creado por G. Husserl, es uno de mis preferidos. Cuando me topé con él, a fines de los setenta (gracias a una linda noviecita que nunca voy a olvidar —y no sólo por el ajedrez) yo nunca había oído hablar del análisis retrógrado. Un hermoso mundo se reveló súbitamente frente a mis asombrados ojos. Desde entonces exploré el tema, leí todos los libros de Smullyan —y compuse algunos pocos problemas propios. ¡Pero este problema de Husserl! ¡Preguntar por el color de las piezas! ¡Después descubrir quién jugó último! ¡Uau!

Éric AngeliniÉric Angelini vive en Bruselas. En su sitio autorreferente se pueden vislumbrar algunos de sus intereses: Oulipo, el ajedrez, la literatura, las matemáticas, la tipografía.

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