Tableros numerados y cuadrados mágicos

Diego Uribe

Tableros numerados y cuadrados mágicos
por Diego Uribe

Mientras trabajaba en la relación entre torres que no se atacan mutuamente y cuadrados mágicos (ver aquí) me topé con la siguiente pequeña curiosidad.

Se comienza con un tablero numerado y un cuadrado mágico de igual tamaño:

Tablero numerado Cuadrado mágico de Durero

Luego se reemplaza cada número del cuadrado mágico por otro número formado por dos partes: la fila (columna) y la columna (fila) en que se encuentran en el tablero numerado. En el cuadrado siguiente se tomó primero la fila; para obtener el cuadrado que resulta de tomar primero la columna basta con invertir el orden de los dígitos. Así, 13 se transforma en 31, 12 en 21, 41 en 14, etc.

Nuevo cuadrado mágico

Este nuevo cuadrado tiene constante mágica 11 (n2 + n) / 2 (la fórmula n (n + 1 ) / 2 mencionada en el link de arriba sólo se aplica a los cuadrados mágicos llamados normales, que son los que tienen todos los números entre 1 y n2). Tiene, además, las mismas características que el original: constante mágica en las diagonales mayores, en los cuadrados de las esquinas y central, etc. Hay dos formas de reconstruir el cuadrado original. Una es realizar la operación inversa a la usada para construir el nuevo cuadrado. La otra es separar en sus dos dígitos cada uno de los números del nuevo cuadrado y aplicar la siguiente fórmula: n (1er_digito – 1) + 2do_dígito. Así, el 44 se transforma en 4 (4 – 1) + 4 = 16, el 21 se transforma en 4 (2 – 1) + 1 = 5, etc. Si para construir el nuevo cuadrado en vez de haberse tomado primero la fila se tomó primero la columna, la fórmula pasa a ser 1er_dígito + n (2do_dígito – 1).

Por lo que sé, esta propiedad nunca fue publicada antes y no he hecho ningún esfuerzo por demostrar los resultados. Si alguno de los lectores lo hace, me interesaría mucho saberlo.

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PDF Diego Uribe: Tableros numerados y cuadrados mágicos (157Kb)

4 comentarios Hacer un comentario

  • 1. josemoya  |  Feb 15 2008, 11:36 am

    Lo que me llama más la atención es que el tercer cuadrado muestra cierta simetría, más fácil de percibir en él que en el original.

  • 2. Sara  |  Feb 20 2008, 8:08 am

    En mi blog dejo una demostración de ese hecho, aunque si la demostración es correcta (igual me he equivocado en algo) nos encontramos con que ese resultado no es válido para algunos cuadrados mágicos (por lo menos no para todos los de orden 6)

    http://sferrerobravo.wordpress.com/2008/02/19/tableros-numerados-y-cuadrados-magicos-demostracion/

  • 3. Diego U  |  Feb 21 2008, 6:52 am

    Sara Ferrero Bravo tiene razón. No sólo encontró algunos contraejemplos en los que la propiedad mencionada en la nota no es válida, sino que determinó las condiciones para que la propiedad se cumpla. Aún le estoy echando un vistazo a esta parte.
    ¡Felicitaciones!

  • 4. karen  |  Jun 26 2012, 10:11 pm

    necesito saber como sumar un cuadrado de 4 x 4 cuya suma de lados me de 24 . los numeros son del 1 al 16 sin repetirse

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