Torres y cuadrados mágicos

Diego Uribe

Torres y cuadrados mágicos
por Diego Uribe

Hace un tiempo, este sitio publicó un acertijo propuesto en 1998 por Julio González Cabillón:

Las casillas de un tablero de ajedrez están enumeradas del 1 al 64 de esta manera: la fila 1, con los números del 1 al 8, de izquierda a derecha; la fila 2, con los números del 9 al 16, de izquierda a derecha, y así sucesivamente. Se ubican sobre el tablero ocho torres de modo que no se puedan capturar unas con otras. ¿Cuál es la suma de los números de las casillas en las cuales están situadas las torres?

El problema puede generalizarse para cualquier tablero cuadrado de lado n y la respuesta es n (n2 + 1) / 2. Como esta misma fórmula se usa para calcular la constante de un cuadrado mágico de lado n, la coincidencia sugiere alguna relación entre ambos acertijos. Notablemente, esta relación pasa por un tercer tipo de acertijo. Veamos.

El acertijo de González Castillón pide disponer las torres sobre el tablero de manera que no se ataquen entre sí. Tomemos un tablero de lado n (en nuestro ejemplo, 5) y busquemos n soluciones a este problema. Estas soluciones deben ser tales que, si se las ubica a todas simultáneamente sobre el tablero, no quede ninguna casilla libre.

Torres que no se atacan

En el último tablero, el de las soluciones superpuestas, reemplacemos cada color por un número (1 para el negro, 2 para el rojo, etc.). El resultado es el cuadrado latino que se muestra abajo. A partir de aquí ya pisamos terreno conocido (ver aquí).

Primer cuadrado latino

A continuación construyamos otro cuadrado latino que, combinado con el anterior, resulte en un cuadrado greco-latino.

Segundo cuadrado latino

El paso final es obtener un cuadrado mágico a partir de los dos cuadrados latinos. Para eso se toma el valor de una casilla en el primer (segundo) cuadrado, se le resta uno, se multiplica el resultado por n (en nuestro caso, 5) y se le suma el valor de la casilla correspondiente del segundo (primer) cuadrado. El resultado se coloca en la casilla equivalente del cuadrado mágico (la multiplicación por n asegura que se obtendrán todos los número entre 1 y n2). Por ejemplo, consideremos la cuarta casilla de la segunda fila, que en primer cuadrado contiene un 3 y en segundo un 4. La operación es 5 (3 – 1) + 4 = 14, valor que se coloca en la cuarta casilla de la segunda fila del cuadrado mágico ilustrado abajo. También se podría haber hecho 3 + 5 (4 – 1) = 18, con lo que se hubiese obtenido un cuadrado mágico diferente.

Cuadrado mágico

Este método no garantiza cuadrados mágicos cuyas diagonales sumen la constante mágica, aunque sí lo harán las filas y columnas. Sin embargo, en ciertas soluciones como la del ejemplo de arriba, no sólo las diagonales mayores cumplen con esa condición, sino que también lo hacen las diagonales quebradas. A este tipo de cuadrados se los conoce como panmágicos.

Una aclaración final. Todo lo anterior sirve para demostrar la relación entre dos acertijos aparentemente independientes (aunque, curiosamente, no fue necesario hacer uso de la fórmula de la constante mágica). Si lo que se desea es construir cuadrados mágicos, existen métodos mucho más simples que pueden hallarse fácilmente en la web.

Este mismo artículo se puede descargar en formato PDF. Para leerlo hace falta el Acrobat Reader.

PDF Diego Uribe: Torres y cuadrados mágicos (269Kb)

1 comentario Hacer un comentario

  • 1. Sandra Pelletier  |  Jan 20 2008, 9:48 pm

    Excelente explicación detallada sobre el ajedrez!
    Yo sigo creyendo que ese juego es para aquellos que les sobra un poco más de materia gris jejeje.
    Es que yo lo he intentado, pero al final me lio y nunca lo termino!
    No con esto estoy diciendo que sea bruta, pero no doy para jugar ajedrez, lo admito!

    Saludos desde República Dominicana

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