Torres sobre un tablero numerado

Las casillas de un tablero de ajedrez están enumeradas del 1 al 64 de esta manera: la fila 1, con los números del 1 al 8, de izquierda a derecha; la fila 2, con los números del 9 al 16, de izquierda a derecha, y así sucesivamente. Se ubican sobre el tablero ocho torres de modo que no se puedan capturar unas con otras. ¿Cuál es la suma de los números de las casillas en las cuales están situadas las torres?

— Propuesto por Julio González Cabillón en marzo de 1998

13 comentarios Hacer un comentario

  • 1. H  |  Dec 1 2007, 7:25 am

    252, la posicion de cada torre es fila*8+columna (numerando las filas desde 0 y las columnas desde 1), para que las torres no se puedan capturar debe haber una por fila y una por columna. La suma de las filas es 8*(0..7)=224 y la de las columnas (1..7)=28.

  • 2. von_ross  |  Dec 1 2007, 9:43 am

    yo creo que si ves el tablero, arroja dos soluciones:

    1 2 3 4 5 6 7 8
    9 10 11 12 13 14 15 16
    17 18 19 20 21 22 23 24
    25 26 27 28 29 30 31 32
    33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48
    49 50 51 52 53 54 55 56
    57 58 59 60 61 62 63 64

    la solucion esta en que para que ninguna torre pueda comer a ninguna deben estar situadas en una fila y columna propia. por ejemplo, lo mas comodo es entonces asociar a cada torre las posiciones de la diagonal principal de la matriz del tablero. con la diagonal secundaria tambien funciona. de tal forma que la solucion es doble:

    diag. principal: 1+10+19+28+37+46+55+64
    diago. secundaria: 8+15+22+29+36+43+50+57

    si no me falla el calculo mental ambas soluciones coinciden en su valor suma, que es 260. saludos!!!

  • 3. Hebus  |  Dec 1 2007, 11:25 am

    260.

    la filas has de numerarlas de 1 a 8 y te saldra 232.

    232+28=260

  • 4. Diego U  |  Dec 1 2007, 11:49 am

    La suma de los números sobre los que están las torres es igual a la constante del cuadrado mágico cuyo orden es igual al lado del tablero. Esta relación entre torres que no se atacan y cuadrados mágicos me resultó totalmente inesperada; tal vez alguien conozca algún antecedente.
    La conocida fórmula de la constante mágica (y de la suma de las casillas ocupadas por torres) es n (n**2 + 1) / 2. En el caso del tablero de ajedrez, el valor es 260.
    Iván, si te interesa, te mando la aburrida demostración por otra vía.

  • 5. Bartola  |  Dec 1 2007, 3:28 pm

    Creo que como ya ha comentado mas de uno la solución es 260.

  • 6. fáv  |  Dec 1 2007, 7:47 pm

    La primeras
    1+9+17+25+33+41+49+57
    más cada posición
    0+1+2+3+4+5+6+7
    Total 260

  • 7. Pablo  |  Dec 1 2007, 8:26 pm

    Muy bueno, Diego!
    Es genial que hayas revelado el necesario vínculo entre “tablero de ajedrez” y “cuadrado mágico”.

  • 8. arturo  |  Dec 3 2007, 10:50 pm

    La suma de cada diagonal es de 260 .
    El resultado de “36″ , es conciderando la vision de un tablero de ajedrez normal ; sin enumerar las casillas desde el N°01 al N° 64 solo conciderando las horizontales del N°01 al N°8 y las verticales con sus letras respectivas.

  • 9. inocsur  |  Dec 12 2007, 4:39 pm

    Si bien la solución es 260 lo interesante de destacar es que a este número lo volvemos a encontrar si sumáramos cualquier fila y su opuesta simétrica y dividimos por 2, lo mismo que cualquier columna y su opuesta simétrica y dividimos por dos.Asi, si al tablero le indicaramos a,b,c,d,e,f,g,h para las filas y s,t,u,v,w,x,y,z para las columnas:
    (a+h)/2=(b+g)/2=(c+f)/2=(d+e)/2=(s+z)/2=(t+y)/2=(u+x)/2=(v+W)/2=260

  • 10. Mati B  |  Jan 12 2008, 4:38 pm

    Aca va una solucion gral., es decir no imprta como ubiquemos las torres mientras estan no se vayan a comer.
    En la primer columna los numeros van de 8 en 8 comenzando desde 1 es decir 8k+1, siendo k cualquier numero de 0 a 7.
    En la segunda columna los numeros van de 8 en 8 comenzando desde 2 es decir 8k+2.
    Tercer columna 8k+3
    Cuarta columna 8k+4……. Etc
    Una vez ubicadas la torres, una en cada columna los valores de k para cada torre tienen que ser distintos. Sumando el valor de cada casilla donde hay una torre tenemos
    8(k1)+1 + 8(k2)+2 + 8(k3)+3 + 8(k4)+4 + 8(k5)+5 + 8(k6)+6 + 8(k7)+7 + 8(k8)+8
    Sumando y reagrupando
    36 + 8 (k1+k2+k3+k4+k5+k6+k7+k8).
    Como cada valor de k es distinto y está comprendido entre 0 y 7 el valor del parentesisi es constante e igual a 0+1+2+3+4+5+6+7=28
    Por lo tanto la suma total es igual a
    36 + 8 * 28 = 260

  • 11. Boris  |  Feb 22 2008, 10:09 am

    Saludos, la solución es 260, pero Uds sabían que colocando un grano de trigo el primera casilla 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta y así sucesivamente en las 64 casillas que compone el tablero de ajedrez, la suma de todo esto arrojaría un resultado que toda la producción de trigo de la tierra no alcanzaría para abastecer el numero del resultado final, y que habría que sembrar toda la superficie de los 5 continentes 5 veces para satisfacer tal demanda? es esto cierto? averíguenlo, de verdad es apasionante,,,

  • 12. matamala  |  Feb 1 2010, 6:06 pm

    260

  • 13. Esteban  |  Feb 6 2012, 11:01 am

    Leí por ahí que hay 2 soluciones y creo que son más: Una vez que ponemos la primera torre, quedan 7 lugares posibles en la segunda fila para colocar la segunda, luego 6, etc
    Así que la cantidad de soluciones es 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 7! = 5040
    Saludos

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