Una vez al año

Una vez al año
el favorito de Rodolfo Valeiras

Un determinado suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca en un año dado?

Posiblemente este es mi problema favorito entre todos los que he conocido, aunque no sea un problema de ingenio típico. Me gusta sobre todo por la elegancia de su formulación, y también por la elegancia de su resultado. Todavía recuerdo mi perplejidad cuando me enfrenté a él por primera vez; tenía la sensación de que faltaba algo, o de que no lo entendía bien. Sólo cuando fui capaz de formularlo de otra forma me di cuenta de que no faltaba nada, de que el enunciado era perfecto.

Y esa es otra de las cosas que más apetecible me resulta en un problema: que se deje transformar, o incluso que pida ser transformado. Como punto débil, desde cierto punto de vista, tal vez tenga el defecto de ser demasiado matemático. Quiero decir, que si bien se puede razonar sin ella y llegar a un resultado satisfactorio, cierta cultura matemática, aunque no muy profunda, facilita su resolución, y, digamos, su degustación.

Un comienzo de solución

¿Qué quiere decir que un determinado suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año? Imaginé una fila infinita de cajas; algunas están vacías; otras tienen dentro un guijarro; otras, varios guijarros. Pero, por término medio, cada caja tiene un guijarro. ¿Qué quiere decir, una vez más, que cada caja, por término medio, tiene un guijarro? Este es el punto más delicado del razonamiento. Como ser finito prefiero razonar con números finitos, incluso, si puedo, con números pequeños. Si hubiera una caja, tendría un guijarro dentro. Si hubiera dos cajas, habría dos guijarros, tal vez los dos en la misma caja, tal vez uno en cada una. Con tres cajas tendríamos tres guijarros, sin que sepamos su distribución. Los mismo, con cuatro cajas, o cinco, o seis… Si, en general tenemos un número n de cajas tendremos también n piedrecitas. ¿Cuál es la probabilidad, en esas condiciones, de elegir al azar una caja, y encontrar uno o más guijarros dentro? O mejor, ¿cuál es la probabilidad de no encontrar ninguno?

Rodolfo ValeirasRodolfo Valeiras es aficionado a las matemáticas, a los rompecabezas y a las palabras. Su excelente sitio web es de visita obligada para todo aquel interesado en esos temas. Es coautor de Orden en el caos, un libro acerca de rompecabezas de movimientos secuenciales, y ya plantó un árbol. Trabaja como maestro en la bahía de Cádiz, al sur de España.

30 comentarios Hacer un comentario

  • 1. Pablo  |  Sep 15 2007, 5:43 pm

    Hmmm… Creo que la reacción inicial de sentir que ‘falta algo’ es válida…

    A ver. Si hubiera dos cajas, y las diferentes opciones de llenar las cajas con dos guijarros son (1,1), (2,0) y (0,2), debemos asumir que esas tres opciones son igualmente probables?

    Rodolfo dice que “Con tres cajas tendríamos tres guijarros, sin que sepamos su distribución”. Pero acaso no debemos asumir alguna distribución de probabilidades de las distintas posibles formas de distribuir guijarros para estimar la respuesta?

    En el caso de N cajas, debemos asumir que cada posible forma de llenar la totalidad de cajas con N piedras tiene igual probabilidad de ocurrencia?

    Porque otra interpretación del problema, quizás igualmente válida, sería suponer que la probabilidad de ocurrencia del evento aleatorio en un día cualquiera es 1 / 364 (o 1 / 364.2425, considerando los años bisiestos).
    Intuyo que este abordaje también conduce a una distribución de probabilidades compatible con el enunciado del problema (es decir, que el suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año), pero muy diferente a la sugerida en la explicación de Rodolfo.
    Si saqué bien las cuentas, la probabilidad de que se produzca ese evento aleatorio al menos una vez en un año cualquiera bajo este enfoque es aproximadamente 36,7%.

    Usando el enfoque de Rodolfo, daría muuuuuuuucho menos.
    (La cantidad de veces que debe aparecer la letra “u” en la palabra “muuuuucho” debería ser igual al valor de N, verdad? :-)

    Qué lindo cuando se cuela el concepto de infinito en un problema así!!

    Gracias, Rodolfo.

  • 2. Alekz  |  Sep 18 2007, 9:33 pm

    Je, se lo envié a mi profesor de Probabilidad y Estadística (estudio Ing. en Sistemas y TI) y esto fue lo que me respondió:-

    ——————
    Hola Alejandro:

    Gracias por escribir y por el reto que me envías. Pero está muy sencillo, de hecho es una pregunta muy elemental de la distribución de Poisson para eventos inesperados poco probables. Eso lo vamos a ver pronto.

    Un determinado suceso aleatorio se produce por término medio una vez al año. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca en un año dado?

    Respuesta: Poisson (1; 1) = [e^(-1) * (1^1)]/ 1! = 1/e = 0.36788.

    ——————

    Pues, ya les diré cuando lo vea en clase porque la verdad es que no entendí la respuesta :D

  • 3. Gustavo Piñeiro  |  Sep 19 2007, 11:28 am

    No sé si las dos respuestas dadas son correctas, pero al menos son coincidentes.

    PD: En promedio, el sol sale una vez cada día. ¿Cuál es la probabilidad de que salga mañana?

  • 4. Gustavo Piñeiro  |  Sep 19 2007, 12:50 pm

    En realidad faltan datos. Sea p un número entre 0 y 1, y supongamos un evento aleatorio tal que:

    Si el año es par la probabilidad de que el evento ocurra exactamente una vez es p y de que no suceda es 1-p. Si el año es impar las probabilidades son exactamente al revés. En cualquier año la probabilidad de que ocurra dos o más veces es 0.

    El valor esperado es 1. Es decir, en promedio el evento sucede una vez por año. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos una vez en un año dado?

  • 5. Gonzalo  |  Sep 23 2007, 2:26 pm

    Bueno, soy un iletrado en matemáticas y me disculpo de antemano si digo alguna barbaridad.
    Creo que la idea de Pablo de dividir el año en días puede ayudar a dar con la solución. De hecho se puede dividir el año en la fracción que queramos, por ejemplo en meses. Así podemos reformular la cuestión así: La posibilidad (P) de que ocurra el evento en un mes es 1/12. La de que NO ocurra es por tanto 11/12. La P de que NO ocurra en 2 meses será 11/12 multiplicado por 11/12 o 11^2/12^2 y, sucesivamente, la P de que no ocurra en 12 meses será 11^12/12^12. Si queremos afinar más, será el límite cuando n tiende a infinito de (n-1)^n/n^n.
    La P de que el evento ocurra será 1-(P de que no ocurra), o 1-(lim n inf (n-1)^n/n^n).
    Para una n de 12 me sale (haciendo la cuenta) 0,6255. Para una N infinita se lo dejo a los profesionales (aunque jugando con e, veo que 1-1/e se le acerca bastante).

  • 6. Rodolfo  |  Sep 24 2007, 3:39 pm

    Pablo: De nada.

    Gonzalo: En realidad tampoco yo tengo grandes conocimientos de matemáticas. Posiblemente mi solución no es muy formal, aunque siempre he creído que era válida (igual estoy equivocado).

    Pablo y Gustavo: Sigo pensando que al problema no le faltan datos. Es decir, con los datos que tenemos podemos llegar a una solución, lo que no quiere decir que si tuviéramos datos adicionales, la solución no sería distinta. En el problema de Gustavo, el suceso cumple la misma condición (sucede por término medio una vez al año), pero cumple más cosas; cosas que no podemos dejar de tener en cuenta.

    Alekz: Algo así me temía (¿no decía que era un problema demasiado matemático?). Yo tampoco he estudiado la distribución de Poisson todavía ;-), así que no puedo comentarlo. Pero a mí me sale la probabilidad complementaria, 1-1/e. Aquí va como lo resolví yo.

    El problema se puede plantear también de esta forma:

    Tenemos una serie infinita de cajas, algunas vacías, otras con piedras. Las piedras se han ido metiendo en las cajas al azar. Por término medio, hay una piedra por caja. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga una o más piedras?

    Pensemos primero en un número finito de cajas, n. Imaginemos el proceso de llenado de las cajas así: al principio tenemos un saco con n piedras; tomamos una piedra y la metemos en una caja cualquiera elegida al azar. Repetimos esta acción con todas las piedras. Al final hay n cajas y n piedras, o sea, una piedra por caja, distribuidas aleatoriamente. Vamos a fijarnos en una caja concreta y vamos a calcular la probabilidad de que al final esté vacía.

    Después de meter la primera piedra, la probabilidad de que la caja siga vacía es de (n-1)/n. Después de meter la segunda, de [(n-1)/n]^2. Después de meter las n piedras, la probabilidad de que la caja siga vacía será de [(n-1)/n]^n.

    En el caso de una serie infinita de cajas (y piedras), la probabilidad será:


    n-1 n
    lim (-----)
    n -> inf. n

    o sea, 1/e. La probabilidad pedida se refiere a que la caja no esté vacía, así que es 1-(1/e), que es aproximadamente 0,63, es decir un 63%.

    Tiene bastante parecido con el método de Gonzalo, aunque el razonamiento es distinto.

  • 7. Armando de Quilmes  |  Sep 25 2007, 8:59 am

    Me parece que hay una incongruencia en 4.- Gustavo. Por un lado en año par o impar la probilidad es p y 1-p respectivamente, de ocurrir un evento y no puede ocurrir 2 veces o más y por otro lado en el último parrafo dice que el evento ocurre en promedio una vez al año.
    En realidad sería que ocurre en promedio una vez cada dos años, o sea una variación del problema original.
    Ahora si, un tema con el original sería que en un evento con tan poca frecuencia tendríamos que tener en cuenta el finito-infinito.
    Tenemos algún ejemplo de ALEATORIO en tan baja frecuencia?
    Tenemos registro de eventos en más de 1000 años (bastante lejano al infinito)?
    Los eventos que se nos puedan ocurrir siguen siendo aletorios en el tiempo?
    Que número de años tenemos en cuenta en vez de infinito?
    Y si en vez de un año sería un minuto?
    Es válida la variable tiempo en probabilidad?
    Rodolfo, yo opino que al problema no le faltan datos, pero se generan un montón de preguntas no? jajajajaj

  • 8. Gonzalo  |  Sep 25 2007, 12:21 pm

    En la naturaleza hay muchos ejemplos de sucesos aleatorios de baja frecuencia, p.ej, la mutaciones en nuestro ADN que hacen que las especies de seres vivos vayan diferenciandose entre sí. Conociendo la naturaleza del ADN sabemos que son aleatorias, y conociendo los millones de años que separa a 2 especies (p. ej. seis en caso del hombre y chimpancé), y el número de pares de bases diferentes entre ambas en un gen determinado, podemos decir, p. ej, que en el gen X del hombre ocurre una mutación de promedio cada, por ejemplo, 350.000 años, (aunque podría haber 3 en 100.000 años o ninguna en un millón).
    Por cierto, la solución de Rodolfo me parece más elegante que la mía, aunque es curioso que con dos planteamientos tan diferentes se llegue a una misma fórmula. Quizá el “pensamiento profundo” que hay detrás no sea tan diferente.

  • 9. Pablo  |  Sep 25 2007, 5:37 pm

    Hola de nuevo.
    Debería haber al menos otra solución muy distinta que, a mi juicio, también cumple con el enunciado del problema. (Al principio pensé que este era el enfoque de Rodolfo, no sé por qué…)

    Supongamos que tengo una cantidad enoooooorme N de cajas. Para lograr que en promedio cada caja tenga un guijarro, establecemos el siguiente modo de llenar cajas:
    1) Tomo una caja y le pongo un guijarro
    2) Tomo una caja y le pongo dos guijarros. Compenso con tomar otra caja y dejarla vacía.
    3) Tomo una caja y le pongo tres guijarros. Compenso tomando dos cajas y dejándolas vacías

    100) Tomo una caja y le pongo cien guijarros. Compenso tomando 99 cajas y dejándolas vacías.

    N) Tomo una caja y le pongo N guijarros. Compenso tomando (N-1) cajas y dejándolas vacías.

    Este mecanismo define una distribución de guijarros que garantiza que en promedio haya un guijarro por caja… Pero a medida que N crece, la proporción de cajas vacías crece a paso cada vez más firme!

    Para N tendiendo a infinito, la probabilidad de encontrar una caja vacía debería tender a uno, verdad?

  • 10. Alekz  |  Sep 25 2007, 9:06 pm

    Ya vi en clase la Distribución de Poisson, ahora sí les puedo contar jeje. En efecto con esta distribución se puede sacar esta probabilidad, porque relaciona eventos poco probables e inesperados con el tiempo que transcurre (por eso se habla de un “promedio” o valor esperado de veces que ocurre).

    Está definida como:

    P(k,λ) = (e^-λ )(λ^k) / k!

    Esta parte viene directo de Wikipedia:

    # k es el número de ocurrencias de un evento,
    # λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

    Cuando el valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

    Lo curioso es que el promedio y la varianza son iguales ( λ ).

    Lo de las cajas es igual porque la pregunta que planteas va por el lado de que qué probabilidad hay de encontrar un guijarro en una de las cajas, sería lo mismo cambiar cajas por años y guijarros por eventos.

    Entonces si aplicamos esa fórmula con lambda = 1 y k = 1, la probabilidad es %36.787944117144232159552377016146 (1/e)

    Distribución de Poisson

  • 11. Rodrigo Granados  |  Sep 26 2007, 7:34 pm

    Me convenció más la solucion de Pablo, com. Nº 9. Aunque debiera ser la respuesta tendiendo al infinito como el dice. Ahora en un universo de cajas no tan gigante o cercano al infinito, la respuesta es la hallada anteriormente por 2 metodos distintos: 0.376.
    Muy buena la pag! y los felicito por su buena inteligencia.

  • 12. Gonzalo  |  Sep 27 2007, 2:53 am

    Pablo:
    tu solución nº 9 no responde al enunciado en cuanto que la distribución debe ser aleatoria. En tu reformulación, habrá solamente una caja con una piedra, solamente una con 2, una con 3… una con diez millones, etc, cuando en la distribución al azar habrá muchísimas cajas con una, algunas con ninguna, unas pocas con 2, menos aún con 3, y muy muy pocas con más de 100.
    No sé nada de matemáticas pero la respuesta de 0,37 no me convence. Si el sentido común no me engaña, si en promedio ocurre un evento en un año, entonces en un año dado es más probable que ocurra al menos una vez a que no ocurra ninguna. Si el resultado fuera 0,37, significaría que en casi 2/3 de los años no ocurre ningún evento.
    Además, la demostración de Rodolfo me parece impecable desde el punto de vista lógico.
    ¿Qué pensais?

  • 13. Armando de Quilmes  |  Sep 27 2007, 8:40 am

    Hola otra vez. Quiero expresar mi opinion de la diferencia de resultados entre el 37 % y 63 %.
    Me parece que es una diferente interpretación del enunciado o error al aplicar la formula de Poisson.
    El resultado 37 % significa que el suceso se produjo una sola vez en el año (eliminando un suceso positivo si se produjo 2 o más veces) y el 63 % es que el suceso se produjo al menos una vez en el año, que es lo que el problema pregunta.
    ¿que opinan?

  • 14. Gustavo Piñeiro  |  Sep 27 2007, 2:57 pm

    He releído el problema y, en efecto le falta un dato. Tal vez la falta no resulte evidente porque, aparentemente, todos lo dan por sobreentendido. Pero el dato falta y es éste: la probabilidad de que el evento ocurra n veces (cualquiera sea n) es la misma todos los años. Sólo este dato adicional elimina respuestas alternativas como la del com. 4.

  • 15. selrak  |  Nov 5 2007, 8:16 am

    Yo creo que la solución es aproximadamente 0,63
    o sea 63% que viene del cálculo: 1-(posibilidad que no suceda ni una vez en un año). No conozco la distribución de Poisson pero parece que el resultado es el inverso.

  • 16. Segoleada  |  Feb 1 2008, 3:44 pm

    En mi opinion, de poder aplicar el modelo de Poisson, la respuesta seria 1-1/e (1-P(de que no ocurra).
    Ahora, si realmente profundizamos un poco, un “determinado suceso aleatorio” no es suficiente para poder aplicar este modelo estadístico. Ya que deberian cumplirse las siguientes 3 condiciones:
    1.-El número de sucesos en dos intervalos disjuntos siempre es independiente.
    2.-La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo.
    3.-La probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable (no se producirán sucesos simultáneos).

    Estas condiciones, a mi parecer, estan lejos de ser sobreentendidas en el enunciado, por lo cual, sostengo que hace falta informacion.

    Por ejemplo, un proceso de Poisson no homogeneo. En donde la media para 1 año puede ser 1 suceso, pero la media para 2 años ser distinto de 2. En este caso, no podemos afirmar que el resultado fuese 1-1/e.

  • 17. Nmesis  |  Feb 3 2008, 10:00 am

    hola¡¡¡
    siguiendo la deduccion de gustavo nº14 la probabilidad de que ese evento occurriera en dicho año sería practicamente del 100%
    pero en el caso de que tubiesemos 10 años y diez eventos, y en el primer año ocurriesen esos 10 eventos la provabiliddad de que suceda en el año nº 5 (por ejemplo) es practicamente nula pero en cambio si en los 5 primeros años no ocurre ningun echo la probabilidad de que en el año nº5 ocurra este evento es 50% mas o menos, por tanto si tubiera que responder al problema diria simplemente que la probabilidad de que en dicho año ocurriese dicho evento es directamente proporcional a la cantidad de eventos ocurridos antes del año, aunque supongo que eso es algo que todoas han ya de saber pero como no se mucho de matemàticas ni de la distribución de Poissson, simplemente doy mi opinión.
    un saludo.

  • 18. fede  |  Feb 13 2008, 4:36 am

    rsta: 3,65 de probabilidad

  • 19. JuanCa  |  Aug 28 2008, 4:23 pm

    Hola, he vuelto a hacer el comentario pués los gráficos no salían bien. Allá va:

    En una distribución normal tendríamos lo siguiente (perdonad lo malo del gráfico):

    ………………………………….xxxxx
    ……………………….xxxxxxxxxxxxxxxxxx
    ……….xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    —————————–x—————————————–
    P=50%…………………… 1…………………….. P=50%

    La mitad de las veces está por encima de 1 y la otra midad por debajo.
    La probabilidad de que el suceso ocurra al menos 1 vez, esto es P(x>=1) es 50% (la mitad del área de la curva). Pero qué pasa si la distribución no es Normal y es de Poisson? Entonces la gráfica sería más o menos así:

    ……….xxxxx
    …….xxxxxxxxxxxxxxxxxx
    …xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    ————–x——————————————————–
    P=33%……..1…………………………………… P=66%

    El problema es que no tenemos datos para determinar qué tipo de distribución es. Así que no tenemos una solución perfecta al problema. Pero podemos seguir analizando cosas (aunque a partir de ahora son conjeturas):
    Dado que el límite inferior de los sucesos es 0 y el superior es “infinito”, yo aproximaría esta distribución mediante una Poisson o una binomial inversa, con una gráfica del tipo:

    xxxxx
    xxxxxxxxxxxxxxxxxx
    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
    ——–x————————————————————–
    0……..1……..2……..3………..4…………5………….6……..

    Donde los valores 0 se repiten más que los valores mayores como 4, 5, etc (si no, no estaría compensado para que la media resultase 1!!).
    Pero lo siento, no puedo avanzar más en la solución exacta pués no tengo datos para comprobar que distribución debo usar.
    Pero como soy una persona práctica y necesito yna resolución, para mi me vale como estimación partir de la que han dado otros usando Poisson. Mi estimación es que la probabilidad es de un 60-65%.

  • 20. Lucas  |  Nov 1 2008, 6:34 pm

    Yo para resolver esto hice de cuenta como si existiera una cantidad finita de años, variable, igual a la cantidad de sucesos.

    Entonces, para un año vamos a tener el 100% de posibilidades.

    Para dos años, tenemos el 50% de posibilidades de que uno de los sucesos ocurra, y otro 50% del segundo suceso…… osea, el 75%

    Haciendo que los años sean cualquier valor, construí esta fórmula (donde n es la cantidad de años):

    1 – ( (n – 1)/n ) ^ n

    Cuando n tiende a infinito, entonces la probabilidad es del 63% aproximadamente

    PD: no lo puedo creer, tengo 18 años y ya descubrí sin haber aprendido entre varias cosas a las derivadas, potencias fraccionarias, y ahora a la fórmula que da como resultado el número e

    lim(n -> +infinito) f(n) = ( n / (n – 1)) ^ n

  • 21. Oscar  |  May 11 2009, 8:09 pm

    Un problema muy interesante!!
    Yo voy de vacaciones promedio 1 vez al año y en estos últimos 10 años la distribución de las mismas ha sido totalmente aleatoria y es la siguiente:
    2000=3 veces, 2001=0, 2002=1, 2003=1, 2004=0, 2005=0,
    2006=0, 2007=5, 2008=0, 2009=0
    Que probabilidad tengo de ir de vacaciones en el 2016?
    Gracias

  • 22. ale  |  May 15 2009, 5:34 am

    no faltaría una constante? Yo me imaginé 1 cometa (suceso aleatorio) que pasa cerca (termino medio) una vez al año. ¿que probabilidad existe de que alguna vez choque?
    - Tendríamos que saber si su recorrido es fijo (siempre pasa cerca).
    - Si se va moviendo de a muy poco por lo que en algunos años si llegara a coincidir con nosotros.
    - Si interfieren factores externos, etc
    No soy matemática ni nada parecido, quizás me equivoque mal, pero lo que sí es una Ley es que todo es relativo, nada es igual para todo. Todo depende desde el punto en que lo mires. Por eso, desde mi humilde lugar (quizás por ignorancia sobre el tema), la respuesta sería: Todo depende, quizás si, quizás no.
    Si alguien lo resuelve avísenme a aleb81@hotmail.com

  • 23. fran  |  Jul 24 2009, 7:16 pm

    No se que tiene que ver la pregunta con cajas gijaros, que no se ni que es y peras………. etc .
    para mi tiene mas que ver con un fenomeno astronomico, como ser un eclipse. lo que hay que determinar es si “el termino medio” es la mitad exacta, pero si fura de esa manera el proceso se veria completo cada 2 años. saludos

  • 24. ivan  |  Oct 14 2009, 10:31 pm

    Como las variables aleatorias son modelos teoricos de las destribuciones de frecuencia, deben tener media, varianza y desvio estandar. el valor medio E(x), la varianza v(x) y el desvio estandar o(x) de una variable aleatoriadiscreta se calcula de la siguiente forma:
    *) E(x)=la sumatoria en n cuando i=1 de x;p(x sub i)
    *) V(x)=E(cuadrado de x)-[E(x)]elevado al cuadrado, siendoE(cuadrado de x)= a la sumatoria en n cuando i vale 1 de x cuadrado;p(x sub 1)
    *) o(x)=a la raiz de V(x)

  • 25. ignacio  |  Oct 22 2009, 7:14 pm

    Tenes el 100 % de probalilidad que ocurra.
    todos los años ocurre 1 sola vez en el año pero todos los años ocurre.

  • 26. a. zorrilla  |  Dec 15 2009, 8:29 pm

    Creo que la solucion es algo mas sencilla, solo hay q pensar en q probabilidad hay de q esten distribuidos de una determinada manera y una vez ahi q probabilidad hay de encontrarlo en esa determinada manera,siendo la posibilidad cero al ser el numero de años infinito, me he explicado fatal jajaja veamoslo asi.

    Posibilidad de q ocurra una vez en cada año: 1/n, posibilidad de encontrar ese suceso 1, total 1*1/n=1/n.

    Psoibilidad de q se repita 2 veces en un año y solo qde un año sin suceso: 1/(n-1), posibilidad de encontrar el suceso, (n-1)/n, total: (1/(n-1))*((n-1)/n)= 1/n

    posibilidad de q queden dos años sin suceso 1/(n-2), posibilidad de encontrarlo (n-2)/n, total: (1/(n-2))*((n-2)/n)= 1/n

    si seguimos vemos q la posibilidad es siempre 1/n, como n tiende a infinito 1/infinito = 0, si lo piensan es bastante logico por tratarse de numeros q tienden a infinito. por favor diganme q les parece

  • 27. legos  |  Jun 20 2010, 4:30 pm

    de planteamientos matematicos no entiendo mucho pero , ¿la respuesta no cambia en funcíon de los años en total considerados? es decir, ¿ la hipotesis de que un suceso aleatorio se produce una vez al año es formulada por observacion de todos los años anteriores que se recojen en la muestra o suponemos que es una hipotesis válida en todo el intervalo infinito de tiempo.?
    de todas formas una rallada total.

  • 28. cristian  |  Aug 26 2011, 8:36 am

    En promedio, el sol sale una vez cada día. ¿Cuál es la probabilidad de que salga mañana?
    que es esto????? y si esta nublado te caga la ecuacion??? dejen de flashar MATEMATICOS tantos problemas para arreglar y pierden tiempo en esto….

  • 29. Oskar  |  Jul 16 2012, 8:11 pm

    Yo tengo un dado con 3 caras con los números 0, 1 y 2. Lo tiro una vez al año para ver cuantas veces me toca irme de vacaciones ese año. De media me voy una vez, aunque hay años que voy dos veces y otros ninguna. Este caso cumple con el enunciado del problema y esta muy claro que tengo 66,6% de posibilidades de que un año me toque irme…

  • 30. estanislao  |  Nov 5 2014, 6:42 pm

    Que un suceso se verifique en promedio 1 vez al año implica que la p de ocurrencia es 1/365.
    Luego, para un año cualquiera, ¿qué p tengo de que ocurra el evento ese año?
    p = 1 – q (no ocurra )elevado a 365

    q = (364 / 365 )elevado a la 365 = 0,367365

    p= 1- 0,367365 = 0, 632635 sería la p de que en un año dado ocurra el evento.

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