El efecto Droste y Galería de Grabados de Escher

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por Bruno Ernst

Galería de grabados, litografía, 1956, de MC Escher

Aunque en forma invisible, el efecto Droste se encuentra en la obra de Escher Galería de grabados. Escher observó: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que el mismo aparece.» Una extensión lógica de la observación sería: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece…» Y esa es una buena descripción del efecto Droste. Las siguientes cinco figuras lo ilustran claramente:

• Primero, el joven mirando el grabado.
• Una ampliación de la parte superior del grabado que el joven mira.
• Una esquina con una galería de grabados.
• Espiando en la galería aparece el joven frente al grabado.
• Finalmente, una nueva ampliación resulta en una figura similar a la primera.

Figura 1 Figura 2
Figura 1. Un joven mira grabados de Escher en una galería de arte. Su mirada cae sobre un grabado bastante parecido al de Malta del año 1935. Figura 2. El joven presta particular atención a la esquina superior derecha, donde se ve parte de la península de Senglea.
Figura 3 Figura 4
Figura 3. El joven descubre una construcción en la esquina, con un alero que le recuerda a la galería de arte en la que acaba de entrar. Figura 4. Una ampliación mayor se lo confirma. Hay obras de Escher y hasta cree que puede ver a un joven mirando un grabado de Malta.
Figura 5
Figura 5. El joven encuentra su propia imagen. Esta figura es la misma que la 1 aunque, en realidad, no lo es. Si consideramos que la primera representa la realidad, entonces ésta es una figura adentro de un grabado.

Este efecto Droste no podría representarse en el plano de un grabado normal, aún si Escher lo hubiese reconocido como tal (cosa que dudo). Su observación «El joven está mirando un grabado en el que él mismo aparece» estaba dirigida a sorprender al espectador y a apuntar que había logrado cerrar la obra sobre sí misma, tal como le gustaba hacer.

el punto ciego

El punto ciego en el centro del grabado siempre ha sido un enigma. ¿Por qué lo dejó vacío Escher? Su propia respuesta fue: «Allí todo se vuelve tan detallado que proseguir hubiera sido imposible.»

Uno puede responder que podría haber ampliado la trama central, permitiéndole continuar. Como veremos más adelante, Escher hubiera realizado un sorprendente descubrimiento. Pero no era eso lo que buscaba; su objetivo era ilustrar una expansión circular del plano, y eso lo había logrado totalmente.

Sin embargo, el punto ciego sigue intrigándonos: ¿qué se hubiera hecho visible de continuar Escher dibujando de acuerdo con la trama general del grabado?

Podremos adivinarlo mirando la obra más de cerca. Observemos la galería. Comenzando desde la esquina derecha se ven tres arcos y parte de un cuarto donde está parado el joven. Pero la galería continúa y, tras el tercer arco, se curva hacia el centro del grabado. Podemos seguirla observando el alero. Parece haber seis arcos; el cuarto y el quinto desaparecen en el punto ciego. Y sabemos que el joven y el grabado que observa deben verse tras el cuarto arco. Este, junto con el quinto arco posiblemente aparecerían si Escher hubiese continuado la trama y llenado el centro del grabado. Y aquí encontramos nuevamente al efecto Droste, por que el grabado que el joven mira parece volver a estar presente, muy reducido, tras el invisible cuarto arco, una y otra vez, en una repetición sin fin. Pero éstas son sólo suposiciones.

Figura 6
Figura 6. La trama de cuadrados distorsionados en que se basa el grabado.

Lo que realmente se encuentra tras el cuarto arco sólo salió a la luz en el año 2000, cuando el profesor Hendrik Lenstra analizó la trama de Escher. Enumerando de la manera apropiada los cuadrados distorsionados de la trama, descubrió que el pequeño cuadrado blanco del centro se correspondía con los vértices A, B, C y D del cuadrado mayor. Por lo tanto la trama del cuadrado mayor (y por ende el grabado completo) podía repetirse en el pequeño cuadrado blanco, muy reducida y rotada alrededor de 180 grados. Y, por supuesto, el pequeño cuadrado blanco contenía en su interior un cuadrado aún menor, y así hasta el infinito. Esto demostraba claramente la presencia oculta del efecto Drocher en Galería de grabados.

la fórmula

Ahora resultaba importante hallar la fórmula subyacente al trabajo de Escher. Se la encontró en una semana; la matemática necesaria se conocía desde hacía un siglo y medio.

Sin embargo, esto no produjo un grabado en el que el punto ciego había desaparecido. Obtenerlo le llevó a Lenstra y sus colaboradores dos años más. Primero, la trama usada por Escher tenía que ser purgada de sus pequeños defectos y redibujada con precisión.

Figura 7 Figura 8
Figuras 7 y 8. Dos secciones de la reconstrucción sin distorsionar de la obra. El punto ciego en el centro de la reconstrucción toma forma de espiral y es claramente visible, como también lo son, especialmente en la carpintería de las ventanas, las pequeñas imperfecciones del grabado de Escher.

Luego, Galería de Grabados debía ser reconstruida sin las distorsiones producidas por la trama, aplicando el mismo método y la misma trama de Escher, pero en sentido inverso. Al hacerlo, en el medio del dibujo sin distorsiones apareció una zona blanca con forma de espiral infinita. El grabado original de Escher carecía de material para llenarla y hubo que hacerlo a mano, continuando las zonas que la rodeaban.

Además, en la trama que Escher había dibujado a mano había pequeñas imperfecciones que requerían corrección. Finalmente se obtuvo el dibujo sin distorsionar sobre el que se basaba el grabado de Escher.

Figura 9
Figura 9. La versión reconstruida de Galería de
grabados con el punto ciego completado.

Ahora un programa de computación basado en la descripción matemática de la trama del grabado podía realizar totalmente la expansión circular, mucho más allá del borde ante el que se había detenido Escher… hasta el infinito. El punto ciego había desaparecido y la versión corregida de Galería de grabados se repetía infinitamente en su propio centro. Naturalmente, esto no podía dibujarse: hubiese requerido un plano infinitamente grande. Sin embargo, es posible mostrarla en una animación que haga zoom en el centro de la obra. En el sitio http://escherdroste.math.leidenuniv.nl se encuentran sorprendentes ejemplos de este proceso.

Galería de grabados se reproduce por gentil permiso de M.C. Escher Company, Países Bajos. Las figuras 1 a 9 fueron tomadas del sitio http://escherdroste.math.leidenuniv.nl y se reproducen por gentil permiso del Prof. Hendrik Lenstra y del Dr. Bart de Smit, de la Universidad de Leiden, Países Bajos. All M.C. Escher works (c) 2005 The M.C. Escher Company – the Netherlands. All rights reserved. Used by permission. www.mcescher.com

Bruno Ernst es experto en la obra de MC Escher, autor de The Magic Mirror of MC Escher y creador él mismo de figuras imposibles. Este artículo inédito nos llegó gracias a Diego Uribe, quien también se ocupó amablemente de su traducción. Se puede descargar en formato PDF, donde las imágenes se ven con mayor tamaño. Para leerlo hace falta el Acrobat Reader.

PDF Bruno Ernst: El efecto Droste y Galería de Grabados de Escher (1831Kb)

18 comentarios Hacer un comentario

  • 1. homero  |  Oct 13 2006, 8:25 pm

    Interesantísimo!

  • 2. Gloria  |  Oct 15 2006, 1:31 pm

    Es super interesante esto que contás, Iván! Gracias!

  • 3. Olga  |  Oct 16 2006, 8:54 pm

    Relación matemática de las obras de escher en especial la del niño en la galería. ¡Es urgente para una exposición, gracias!

  • 4. Hernesto  |  Oct 31 2006, 2:27 am

    Leer la continuidad de los parques de Julio Cortázar… otro claro ejemplo del efecto Droste

  • 5. YO 17 AÑOS  |  Jan 31 2007, 5:01 pm

    ME ENCANTA ESCHER PERO AY MUY POCO INFORMACION SOBRE EL :-(

  • 6. benjamin  |  Feb 15 2007, 12:24 am

    no creo que escher pensara en matematicas cuando hacia sus obras, ya que estas reflejan la intencion de trascender y demostrar las ganas de ser mas que un holandes promedio.
    y sobretodo demuestra la sencillez y equilibrio del caos.

  • 7. Miscelanea  |  Feb 16 2007, 4:37 am

    !Excelente¡

  • 8. Juanmi  |  Feb 20 2007, 9:01 pm

    Yo creo que era imposible que escher hiciera esas obras sin pensar en matemáticas. Hay que pensarlo mucho para dibujar esos grabados.

    Realmente genial, parece que hizo bien dejando ese circulo en blanco, es una auténtica locura… ;P

  • 9. Q_ED  |  Apr 17 2007, 4:06 am

    quien es droste?

  • 10. Ivan  |  Apr 17 2007, 6:38 am

    Eso se responde aquí.

  • 11. victor  |  May 16 2007, 3:49 pm

    A quien corresponda:

    El desarrollo del ensayo es interesnate y claro, las ideas expuestas son sumamente verosímiles. Ahora, quisiera saber la relación que existe entre el grabado Galería de grabados, los fractales, el espejo y el laberinto, me gustaría contar con el apoyo de Bruno Ernst o de Diego Uribe para la realización de un trabajo de investigación sobre los bocles extraños planteados por Hofstadter (cfr. Gödel, Escher y Bach)
    ¡Gracias!

  • 12. Ror  |  May 30 2007, 1:36 pm

    Una frase que en el zen repiten hasta la saciedad es: “Estudiarse a sí mismo es olvidarse de sí mismo”. El punto ciego podría representar a ese tercer mundo que tanto le gustaba a Escher plasmar en sus grabados, un tercer mundo que serviría para conciliar a los otros dos en oposición. Lao Tse también comienza diciendo en su famosa obra, el Tao te king: “Del tercer mundo (tao) se puede hablar pero no del tercer mundo eterno”. El ser humano en su empeño por darle un sentido a todo, inhibe en él mismo un poder todavía mucho mayor que su idea de que es un ser insignificante que habita en un planeta insignificante dentro de un sistema solar insignificante de una remota galaxia insignificante de uno de los insignificantes Universos del insignificante multiuniverso, y así ad infinitum. No obstante, pienso que para comprendernos a nosotros mismos, tanto sirviéndonos de un medio u otro, el del conocimiento o el del no-conocimiento, al final nos toparemos con el otro.

  • 13. Silvia  |  Jul 29 2008, 11:16 pm

    Escher no sólo pensaba en las matemáticas al crear sus obras. En sus propias palabras: “Manteniendo alerta mi mirada frente a los enigmas del mundo, si bien interesado en su plasmación sensible, entro en contacto, en cierto modo, con el dominio de las matemáticas. Aunque no dispongo de una formación en las ciencias exactas ni de conocimientos especializados, a menudo me siento más próximo a los matemáticos que a los colegas de mi profesión.”
    (Prólogo del libro “Estampas y dibujos”, Germany, Taschen, 1994)

  • 14. Gonzalo  |  Aug 25 2008, 10:16 pm

    Cómo habría disfrutado Escher con los recursos de computación que existen hoy, Habría asimilado a Mandelbrot y su trabajo se habría desarrollado hasta el infinito…

  • 15. juan  |  Oct 12 2008, 2:02 am

    tanto tiempo para entender algo obvio

  • 16. mamenisa  |  May 26 2009, 4:15 am

    conosco a escher por un puzle y desde entonces visito su paginas pues su trabajos no dejan de sorprenderme y me dicen que hay mas detras de lo que vemos gracias por ser , y dejar que difrutemos con la magnitud de sus trabajos

  • 17. Moebius  |  Oct 14 2009, 12:50 pm

    Perfecta explicación de esta excepcional obra.

    El efecto en video lo podeis ver en:

    http://www.youtube.com/watch?v=XwwR3hthtAo
    y
    http://www.youtube.com/watch?v=W4K16ifEZRM

  • 18. esteban  |  Mar 16 2011, 8:08 pm

    No es efecto droste ya que ninguna imagen se repite en la obra. Una imagen que exhibe el efecto Droste incluye dentro de ella una versión de menor tamaño de sí misma, la que a su vez incluye en un lugar similar una versión aún más pequeña de sí misma, y así sucesivamente.

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