Los propios límites

Diego Uribe

Los propios límites
por Diego Uribe

PlanteoTodos acordarán que la figura 1 es un cuadrado formado por 9 puntos. Según la enciclopedia un cuadrado es una figura compuesto por cuatro lados de la misma longitud que forman cuatro ángulos de 90 grados. Sin embargo, la figura 1 no tiene lados y, por lo tanto, mucho menos tendrá ángulos entre los lados. Apenas si tiene 3 puntos aislados. A pesar de ello persistimos en percibir a la figura como un cuadrado. Parecería como si, de alguna manera, fuésemos capaces de completar los vacíos entre los puntos hasta formar los lados, aunque esto sucede sólo en los bordes: percibimos la figura como un cuadrado, tal vez con un punto en el centro, pero no como un cuadrado grande con una cruz en el centro, o como cuatro cuadrados más pequeños y vecinos.

En las primeras décadas del siglo XX, una escuela de psicología alemana estudió las condiciones que llevan a que percibamos un grupo de objetos aislados como una unidad. Las conclusiones fueron expuestas en forma de leyes de la percepción: las leyes de la Gestalt. El concepto general es el de Prägnanz, o precisión al organizar la percepción: cuando las cosas son percibidas como un todo se requiere del cerebro la cantidad mínima de energía. Para usar la inevitable metáfora computacional, percibir los 9 puntos como un cuadrado es el código que utiliza menos recursos del microprocesador. La consecuencia es que el cuadrado tiene límites: hay un adentro y un afuera. El punto central, por ejemplo, está claramente adentro; éste párrafo está claramente afuera.

SoluciónUno de los acertijos más viejos del mundo pide unir los 9 puntos mediante 4 trazos rectos, sin levantar el lápiz del papel. Quien se haya propuesto resolverlo sabe que los primeros intentos están fuertemente condicionados por la prägnanz y que las líneas que uno traza quedan dentro de los límites del cuadrado. Sólo cuando uno se atreve a sobrepasar estos límites se puede hallar la solución.

En un país extrañamente parecido a mi barrio, todo objeto enviado por correo que no esté dentro de una caja cerrada con candado es invariablemente robado. Adán desea enviarle a Eva un regalo, tal vez un anillo o un par de pendientes. (El porqué Adán quiere enviarlo por correo y no entregarlo personalmente no nos concierne: en este acertijo las cosas son así y punto.) Adán y Eva disponen de una gran variedad de candados. Lamentablemente, Adán no tiene llave de ninguno de los candados de Eva y viceversa. El cuestión es: ¿cómo hace Adán para que Eva reciba el regalo? Un par de aclaraciones. Eva debe poder usar el regalo; no basta con que reciba una caja que no puede abrir con el regalo adentro. Además, si Adán o Eva envían una caja con un candado sin cerrar, en el correo se roban el candado más lo que la caja contenga.

Medité este problema a lo largo de varios días. Mientras conducía por la Panamericana hacia el trabajo ponía el cerebro en piloto automático y usaba la parte libre para intentar resolverlo. Finalmente dí con una solución: Adán enviaba a Eva una caja chica cerrada por un pequeño candado. Pero antes de cerrar el candado enhebraba en el aro de éste la llave de un segundo candado. Al cabo de unos días, una vez que estaba seguro que Eva había recibido la primera caja, mandaba una segunda con el regalo en el interior y cerrada con el candado cuya llave había enviado. Cuando Eva recibía esta nueva caja manipulaba la primera para insertar la llave en el candado y abrirla.

El problema con esta solución es su inocultable fealdad. No tiene ni un atisbo de elegancia. ¿Manipular caja, candado y llave para abrir otro candado? Horrible. Fui a consultar la respuesta. Así me enteré que no estaba solo: varios asistentes a la última reunión en honor de Martin Gardner la habían propuesto . De alguna manera esto me consoló: aunque es cierto que el mal de muchos es consuelo de tontos, en la reunión estaban muchos de los tontos más inteligentes del mundo. Sin embargo, el acertijo tiene otra solución mucho más elegante. Como sucedía con el cuadrado de 9 puntos, me impuse a mí mismo límites que me impidieron encontrarla. Pero estos límites no parecen ser del mismo tipo que los del cuadrado. No creo que sirvan para ahorrarle energía a mi cerebro. Más bien parecen límites culturales, tal vez de educación, formación o simplemente costumbre. Los lectores no están afectados por mis propios límites y tal vez puedan hallar la solución elegante.

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24 comentarios Hacer un comentario

  • 1. marcos  |  Aug 14 2006, 1:00 pm

    Me pregunto si se podrá confiar en que el correo envía lo mismo que le es encomendado. Si no es así, la solución que tengo en mente no sirve…

  • 2. disinerge  |  Aug 14 2006, 2:10 pm

    Regalar a Eva una caja cerrada con candado tampoco parece un gran obsequio, ¿no?

  • 3. Pablo Sussi  |  Aug 14 2006, 6:01 pm

    ninguno de los 2 tenía un candado sin llave, de los de combinación??, envía una caja con ese, y luego por teléfono, mail, etc, le dice cual es la combinación

  • 4. marcos  |  Aug 14 2006, 9:49 pm

    Sé de una solución al estilo vaivén. Pero no sé si funcionará si el correo falsifica los envíos…
    Es el eterno dilema: además de la autenticación, está el problema de la confianza en el medio de comunicación.

  • 5. Diego  |  Aug 14 2006, 10:27 pm

    Marcos:
    Los ladrones son ladrones y no falsificadores. Si Eva le escribe a Adán un mensaje en el exterior de la caja (“Comé fruta del árbol del jardín”) el mensaje llega tal cual. Además, se supone que todo intercambio se hace a través del correo.

    Pablo Sussi:
    En este acertijo no hay candados con combinación; sólo con llave. Otra vez será.

  • 6. Markelo  |  Aug 14 2006, 11:23 pm

    Se me ocurre lo siguiente:

    Adán coloca su regalo dentro de una caja, la cierra con candado y la envía por correo.

    Eva recibe la caja, le agrega un candado propio y se la devuelve a Adán por correo.

    Adán la recibe, quita su candado y vuelve a enviársela a Eva.

    Eva la recibe, abre su candado, mira el regalo… y le envía una carta a Adán diciéndole… que ella lo hubiera preferido de color rojo :-)

    Creo que funciona.

  • 7. Facilista  |  Aug 14 2006, 11:27 pm

    El problema dice que Adán quiere mandarle el regalo por correo, pero no dice que la llave del candado tiene que ir por correo, tranquilamente le puede dar la llave personalmente, y despues mandar el regalo, y Eva podrá abrirlo cuando lo reciba y disfrutar de su anillo o pendientes.

  • 8. Markelo  |  Aug 14 2006, 11:32 pm

    aaah.
    A eso se refería Marcos con “vaivén”

  • 9. Markelo  |  Aug 15 2006, 1:51 pm

    Una cosa más:

    En el enunciado dice: «Adán y Eva disponen de una gran variedad de candados»

    Esta frase es la que me llevó a la solución (si Adán envía el paquete ¿qué importa que Eva tenga candados?)

    Comencé pensando en diversas maneras de entrelazar los candados y las llaves (pensaba que las llaves debían ir y venir) pero no lograba la solución.

    Imagino que tenía el mismo limite impuesto al que seguramente hace referencia Diego: “La caja puede llevar un solo candado”

    En cuanto superé ese límite, la solución salió sola.

  • 10. Markelo  |  Aug 15 2006, 1:54 pm

    Y una cosa más todavía…

    Mientras pensaba diversas combinaciones de entrelazar los candados, se me ocurrió que una solución podría ser una especie de “nudo borromeo”
    http://es.wikipedia.org/wiki/Nudo_borromeo
    pero creo que no hay una secuencia de idas y venidas que lo permita.
    ¿Se podrá?

  • 11. isabel  |  Aug 15 2006, 2:56 pm

    O bien entrega la llave personalmente ,previo al envio de la caja por correo, o caso contrario manda la llave por correo en un sobre ,y un par de dias mas tarde ,envia la caja con el candado

  • 12. Lumauro  |  Aug 15 2006, 4:06 pm

    El problema con la solución de Markelo, que estuve analizando con cuidado, es que no hay una secuencia de idas y venidas que permita abrir la caja para depositar el regalo en ella y cada vez que se agrega un candado se complica más por cuanto de ninguno de ellos hay llave al otro lado (adán o Eva) y cualquier candado que se ponga debe asegurar la posiblidad de enviar la caja asegurada cuando se retiren los demás.
    La solución que a mí se me había ocurrido es la misma Facilista, de hecho el problema establece que Adán “no quiere entregar el regalo personalmente” sin que ello signifique que no puede; a mi modo de ver, Adán y Eva podrían residir en la misma ciudad (no se aclara lo contrario) por lo que no resulta descabellado entregar personalmente la llave.

  • 13. Lumauro  |  Aug 15 2006, 4:34 pm

    ¡Oppss! No había leído bien la solución de Markelo, mis disculpas, partí del supuesto que el regalo se coloca al final no al principio como lo propones… visto así tambien creo que funciona.
    El único problema con las tres soluciones (incluyendo, pedir un candado prestado a Eva, que tambien se me había ocurrido) es que en todas ellas Eva está sobre aviso y, tratándose de un regalo, sería mejor que no lo estuviera… ¿No habrá forma de resolverlo así sin la participación activa de Eva?

  • 14. Facilista  |  Aug 15 2006, 10:27 pm

    Si la solución de Markelo es mucho más elegante que la mía, cuando escribi la que yo pensé no estaba posteada la de Markelo, que creo mas correcta que la de llevar personalmete la llave, por lo menos en cuanto al contexto del problema planteado

  • 15. Diego  |  Aug 16 2006, 8:56 pm

    La solución de Markelo no sólo es elegante, sino que, como dice Peter Winkler, autor del artículo donde aparece el problema, se basa en la misma idea que el algoritmo de Diffie-Hellman. Este tal algoritmo es un método para que dos personas, a través de un medio publico, puedan comunicarse entre ellas un número secreto. En ese sentido el algoritmo es de idea y vuelta, mientras que en el acertijo la información (el regalo) va en una sola dirección. Lo siguiente es un poco latoso, pero vale la pena hacer el esfuerzo para seguirlo.

    Para explicar el algoritmo con la intervención de Adán y Eva necesitamos:
    - Un medio público de comunicación: el correo del acertijo.
    - Un número primo p.
    - Un número g al que llamaremos la base.
    - Un número a, imaginado por Adán y que sólo él conoce.
    - Un número b, imaginado por Eva, y que sólo ella conoce.
    - El concepto de módulo. El valor de x módulo y (x mod y) se obtiene restando y de x tantas veces como se pueda. El resto que queda es el valor buscado. Por ejemplo, 23 mod 5 = 3, porque 5 “entra” 4 veces en 23 y queda un resto de 3.

    El procedimiento es el siguiente:

    - Adán, Eva o un tercero (es indistinto) elige un número primo p y un número base g y los comunican por el medio público. Supongamos que p=19 y g=2.

    - Adán elige un número a y eleva a la base g a la potencia a. Luego calcula el valor de ese resultado módulo p. Supongamos que Adán elige a=6. Entonces, 2^6 = 64; 64 mod 19 = 7. Adán comunica públicamente su resultado 7 escribiéndolo, digamos, en la parte de afuera de un sobre dirigido a Eva. En el acertijo, Adán envía por correo a Eva una caja cerrada con un candado.

    - Eva elige un número b y realiza con él las mismas operaciones que Adán. Supongamos que Eva elige b=5. Entonces, 2^5 = 32; 32 mod 19 = 13. Eva envía a Adán su resultado 13 por el medio publico. Es decir, Eva envía a Adán otra caja cerrada con un candado.

    - Adán toma el resultado de Eva (13) y lo eleva al número que había elegido (6). Luego vuelve a sacar el valor módulo 19. 13^6 = 4826809; 4826809 mod 19 = 11. En el acertijo, Adán aplica su propio candado a la caja con candado de Eva y se la envía.

    - Eva hace lo mismo que Adán con sus propios valores: 7^5 = 16807; 16807 mod 19 = 11. Eva aplica su candado a la caja con candado de Adán y se la envía.

    Ahora ambos conocen el número secreto 11 y pueden usarlo como clave. En el acertijo, Adán y Eva tienen las cajas con doble candado; ahora pueden retirar los candados propios y enviarlas nuevamente.

    Queda un punto, mencionado por Marcos en el primer mensaje. Si la serpiente detiene al cartero y reemplaza los números que envían Adán y Eva por números propios, puede interferir los mensajes en clave sin que lo sospechen… hasta que un día los echan del Paraíso. Para que el método sea seguro se requiere una forma de certificar esos números. Pero eso es otra historia.

  • 16. meninax  |  Aug 17 2006, 8:05 pm

    lo q esta diciendo Diegoes esto?

    Adán envía por correo a Eva una caja cerrada con un candado.
    Eva envía a Adán otra caja cerrada con un candado.
    Adán aplica su propio candado a la caja con candado de Eva y se la envía.
    Eva aplica su candado a la caja con candado de Adán y se la envía.
    Adán y Eva tienen las cajas con doble candado; ahora pueden retirar los candados propios y enviarlas nuevamente.

    nose pero haber analizen

  • 17. Silvian  |  Aug 18 2006, 12:15 am

    Adán disponen de una gran variedad de candados. Lamentablemente, Adán tiene llave de sus candados. Si manda el regalo es el único que puede darle la solución de abrir la caja a Eva.
    la pregunta deberia ser ¿cómo hace Eva para abrir la caja y ver su regalo?
    Entonces Eva le manda un candado con una llave ya que nadie se lo va a robar algo así, no tiene un valor con el anilloy se queda con una copia de la misma para que Adán le pueda mandar la llave del candado del regalo en una caja segura. Por las dudas!!!
    Creo que aca el problema es la seguridad.
    Y si cada candando solo tiene 1 sola llave.

  • 18. Diego  |  Aug 18 2006, 8:37 am

    Meninax,
    Lo que estoy diciendo es que el método Diffie-Helman para obtener un número secreto a través de un canal público es formalmente semejante a la solución de Markelo al acertijo, pero para el caso en que Adán y Eva se mandan regalos mutuamente. Esta solución es el procedimiento que vos describís correctamente – sólo que, antes de poner el primer candado, Adán y Eva deben poner los regalos dentro de las cajas.

  • 19. Silvina  |  Aug 18 2006, 4:27 pm

    pero tienen que ser una llave la que habra la caja. no ecuaciones.

  • 20. Gustavo  |  Aug 24 2006, 3:15 am

    No se si sea válido, pero que pasa si Adán cierra el candado y troza la llave dentro de este. La troza, de tal manera que Eva podrá girar con alguna de sus llaves el candado y, debido a que la llave correcta está dentro éste, se abrirá.

  • 21. johan manuel  |  Aug 31 2006, 6:52 pm

    podrian mandarme las otras 5 soluciones

  • 22. Erynus  |  Mar 8 2010, 12:38 pm

    ¿sirve el pensamiento lateral?
    En ese caso Adan manda el candado con la llave puesta.

  • 23. Diego  |  Mar 30 2011, 5:33 pm

    les propongo 2 variantes para el problemas de unir los 9 puntos con lineas.

    1. unir los 9 puntos con tres lineas rectas.

    2. unir los 9 puntos con 8 lineas rectas. bajo las siguientes restricciones.
    a) las lineas deben tocar al menos uno de los puntos.
    b) no se puede tocar el mismo punto dos veces.

    no son dificiles, solo llevan unos entretenidos minutos.

  • 24. Diego  |  Mar 30 2011, 5:36 pm

    me falto la ultima restricion del 2 problema:

    c) los cambios de direccion solo pueden hacerse dentro de los puntos.

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