El acertijo de Pau

«Mi hijo Pau», me escribe desde Barcelona mi amigo Amadeo Monreal (catalán, matemático e hincha del Barça), «tiene 1010 años pero no es más viejo que Matusalén». Por supuesto, 1010 está en notación binaria; en notación decimal, Pau tiene 10 años.

Inmediatamente salta a la vista la similitud entre ambas notaciones: para escribir 10 decimal en binario basta repetirlo dos veces. ¿Existirán números con características similares, aunque con cualquier número de repeticiones? El 0 y el 1 cumplen con la condición para una repetición. Amadeo se encargó de demostrar que 10 es caso único para 2 repeticiones y que no existen casos para 3 o más repeticiones (la prueba no es demasiado difícil).

Liquidado el caso binario por Amadeo, ¿qué pasa con otras bases numéricas?

—Diego Uribe

18 comentarios Hacer un comentario

  • 1. Saldes  |  Jun 5 2006, 4:07 am

    buena pregunta no?
    la verdad es que no sabría responder, las matemáticas se alejan un poco de mi camino. Sólo me atreví a saludar, para agradecer por tan buena página que hacen. No estoy enterado si son más de una pesona, pero desde hace algunos días, desde que al encontre, no he parado de leerla apasionadamente, iinteresarme, abrir todos los links que salen y hacer trabajar la azotea de mi cráneo.
    Les agradezco la existencia y la preocupación por la página, frecuentemente estaré intentado responde y ayudar con las preguntas.

    Se despide afectuosamente, Saldes.

  • 2. Hilts  |  Sep 11 2006, 10:46 pm

    La verdad es que te olvidaste de un numero. En concreto del 0.

    en decimal lo puedes escribir 0000 y en binario 0000.

    ¿Cumple con tus reglas no?

    Es una tonteria,pero bueno,son dos numeros,jeje.

  • 3. jc  |  Mar 6 2007, 4:52 pm

    Hay 10 tipos de personas: Los que saben binario, y los que no

  • 4. Gonzalo  |  Apr 20 2007, 2:54 pm

    101010= 42 si a eso te refieres, en realidad interpreto bien tu pregunta pero si sigues repitiendo los 10 siempre te dara un resultado.
    No se si entiendes esto de binario, pero es simple por ejemplo si tienes 1010 va a valer 10 ya que debes basarte en una tabla.
    8-4-2-1
    1 0 1 0
    Cada ves que tengas un uno se cumplira el valor que tienes en la tabla, en este caso tienes un 1 en el 8 y en el 2 (8+2=10).
    Esta tabla es infinita se completa con multiplos de 2, es por eso que 101010=42. Utilisarias esta tabla:
    32-16-8-4-2-1
    1 0 1 0 1 0
    Tienes un 1 en el 32, 8, 2 lo que suma 42.
    Es simple si es a esto a lo que te refieres.

  • 5. morris  |  Jul 6 2007, 1:15 pm

    En realidad se refiere a que casualmente al escribir dos veces el número diez decimal, uno obtiene el número diez en binario. La pregunta es si existen otros casos en los que se pueda escribir un número en una base repitiendo los dígitos que lo definen en otra base.

  • 6. HUMBERTO ESTRADA MARTINEZ  |  Aug 22 2007, 6:32 pm

    esta muy chido los acertijos, pero hay que romperse mucho la cabeza para poder contestar, sin embargo, no cual sea la respuesta. hasta lurgo….bye.

  • 7. César Hernández  |  Sep 3 2007, 3:08 am

    Es muy probable que si, en la matemática siempre se encontrarán infinitas posibilidades para una respuesta concreta…en cuanto a las bases numéricas, se podría decir que existen tantas bases numéricas como números haya…. una baraja de infinitas posibilidades, sin embargo para este ejercicio lo más coherente es utilizar máximo hasta la base 9, pues base 10 es la común, y luego de base 10 se comienzan a usar las letras para designar esos numeros inexistentes (p.e. en base hexadecimal se usan los números del 0 al 9 y las letras de la A hasta la F, siendo F el número 15 y el 10 es el 16), si tienes un pequeño tiempo es una cuestión de probar con números al azar, a medida que se amplía la base las posibilidades serán mayores, igual la idea principal al tomar las bases La idea principal para hacer esto es tomar los números uno inferior a la base, asi en base tres usamos los números 0,1,2, o en base 9 desde el 0 hasta el 8, ahora, matemáticamente lo que se hace es elevar el número al que corresponde la base y elevarlo a la posición de la casilla, y multiplicarlo por el número situado alli, asi hacerlo con todos (Mayor información recurre a un algebra lineal); p.e en sistema base 7 el 53 sería:
    primera casilla (cero en nuestra cuenta) 7^0=1; 1*3= 3
    segunda casilla: 7^1=7. 7*5=35
    35+3=38
    el proceso inverso se logra tomando la potencia de la base inmediatamente inferior a número dado y dividirla entre el número, tomar el residuo y dividirlo por la siguuiente y ubicar las cifras, asi nuestro 28, la totencia de 7 inmediatamente inferior es 7, por tanto, 38/7 = 5 y el residue es 3, luego la siguiente potencia es 1, 3/1= 3, el número…. 53… puedes intentarlo con cualquiera… suerte…

  • 8. kamii  |  Sep 26 2007, 6:55 pm

    buena pregunta no?
    la verdad es que no sabría responder, las matemáticas se alejan un poco de mi camino. Sólo me atreví a saludar, para agradecer por tan buena página que hacen. No estoy enterado si son más de una pesona, pero desde hace algunos días, desde que al encontre, no he parado de leerla apasionadamente, iinteresarme, abrir todos los links que salen y hacer trabajar la azotea de mi cráneo.
    Les agradezco la existencia y la preocupación por la página, frecuentemente estaré intentado responde y ayudar con las preguntas.

    Se despide afectuosamente, Saldes.

  • 9. Miriam  |  Nov 10 2007, 4:48 pm

    Disculpen, pero creo que la mayoría no ha entendido la pregunta, que, concretamente es : ¿en qué otros sistemas (que NO sea el binario) podemos encontrar un número que se “repita” o tenga una casualidad, como el 10 en este caso?.
    Lastimosamente, los únicos sistemas que conozco son el decimal y el binario; pero en cuanto me entere de alguno, y quizás en este sistema haya alguna “casualidad”, les aviso.
    ¡Saludos!

  • 10. Pepe  |  Nov 27 2007, 2:49 pm

    Creo que es imposible, porque al aumentar la base la representación de un número es mas corta. Así por eejemplo, en base 3 el 21 se representa como 0210 (no está mal) pero el valor decimal de 210210 en base 3 sería 588. Teniendo en cuenta que en base 3 solo podríamos construir numeros con 0, 1 y 2, resulta imposible encontrar un número decimal que su representación en base 3 sea el mismo número repetido.

  • 11. Aureliano  |  Dec 6 2007, 9:28 am

    en base 3, como muy bien dice pepe, “solo podríamos construir numeros con 0, 1 y 2″ entonces eso limita enormemente nuestro rango de posibilidades. representar un numero de solo 1 cifra es imposible ya q si esta se vuelve a repetir quedaria un numero mas grande que el original. entonces podemos probar con un numero de 2 cifras. si es un numero de 2 cifras tiene que haber por lo menos un 1 que seria 27 y ya sobrepasa el numero original. si seguimos aumentando el numero de cifras al mismo tiempo aumenta el numero q se representa haciendo asi imposible que se pueda en bases mayores a 2.
    era un problema bastante simple si se piensa un rato. una lastima haber encontrado esta pagina tan tarde.

  • 12. Elekian  |  Dec 7 2007, 6:00 am

    El siguiente más parecido que veo es el 100 que en binario sería 1100100 (si no me equivoco).

    Pero como notarán ahí hay un número que no cuadra con las reglas.

  • 13. Mati B  |  Jan 12 2008, 5:04 pm

    En sistema ternario (0 1 2), el 20 está reperesentado como 2020
    De hecho
    30 en sistema cuaternario (0 1 2 3) es 1010.
    40 en base 5 (0 1 2 3 4) es 2020

  • 14. Raul  |  Apr 12 2008, 8:06 pm

    Creo que 1010 en binario tiene dos soluciones posibles el 10 desimal y el -10 decimal.
    No se, eso me parese a mi…

    Salu2

  • 15. Chus  |  May 29 2008, 5:44 pm

    @Mati B

    Lo siento, pero no: 2020 en base 3 no es 20, sino 0×1 + 2×3 + 0×9 + 2×27 = 60

    1010 en base 4= 0×1 + 1×4 + 0×16 + 1×64 = 68

    2020 en base 5= 0×1 + 2×5 + 0×25 + 2×125 = 260

  • 16. Pablo  |  Jun 9 2008, 9:47 pm

    Raul en realidad para representar el -10 (decimal) en binario hay que hacer el complemento a 2 a 1010 y se utiliza el primer bit como bit de signo.

    El 1 es para negativo y 0 para positivo.

    Por lo tanto el -10 (decimal) seria en binario: 10110

    Para verlo más claro seria:
    -1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 =
    = -16 + 0 + 4 + 2 + 0 = -10

    En cuanto al tema de esta sección. Estuve probando algunos números en distintas bases y no he encontrado ninguno que cumpla con las mismas condiciones de repetición que el 10 en el caso binario y decimal.

    Saludos y muy buena la página.

  • 17. marcelo  |  Oct 2 2008, 2:16 am

    No puedo aportar mucho pero me parece, excelente ver personas que prefieren utilizar su tiempo y cerebro en pequeños dilemas , que la millonada de &%$%$!”!!!! que mandan emails con tonteras !!! que nada aportan…

    luego me unire con algun aporte que los haga pensar…

  • 18. Krenchas  |  Dec 3 2011, 5:14 am

    Quien sabe, podría ser que 302 en sistema cuaternario se escriba 302302… 1101 en ternario se escribe 110100 pero es un tiro en el travesaño, no cuenta como gol…

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