Dos matemáticos

Dos matemáticos
el favorito de Cihan Altay

Se eligen dos números mayores que 1 cuya suma es igual o menor que 100. Al matemático S le hacen saber sólo la suma de estos números y al matemático P le hacen saber sólo su producto. Más tarde, ambos matemáticos tienen la siguiente conversación telefónica.

P: No sé cuáles son los números.
S: Ya sabía que vos no sabías cuáles son los números.
P: Ahora ya sé cuáles son los dos números.
S: Ahora ya sé cuáles son los dos números.

¿Cuáles son los números?

Tenía apenas 15 años cuando encontré por primera vez este acertijo en la ronda eliminatoria de una competencia muy conocida. Lo poco que sabía era que se trataba de un clásico originado en los años 60. Después de unas horas de mirarlo intensamente me encontré sumergido en la lógica subyacente al problema. Las posibilidades fueron eliminándose con elegancia y su única respuesta se reveló entre centenares. Este problema es muy ingenioso porque obliga a pensar con una profundidad varios niveles mayor que la usual. Los datos son escasos pero la solución es bastante complicada. Creo que esas son las características fundamentales de un acertijo clásico. Es muy recomendable que el lector resuelva con completa atención cada acertijo que se cruce ante sus ojos: no se puede perder el placer de resolver un clásico.

Cihan AltayCihan Altay es un activo creador de acertijos y juegos matemáticos. Es el alma detrás de
Otuz Oyun y el creador y organizador de
PQRST, una competencia cuatrimestral de resolución de problemas seguida por docenas de participantes de todo el mundo. Vive en Turquía.

66 comentarios Hacer un comentario

  • 1. andresito  |  Feb 16 2006, 10:44 am

    ¿es posible que sean 8 y 9?

  • 2. andresito  |  Feb 16 2006, 10:47 am

    je , perdón. quise decir 4 y 13. Es que estaban en la misma hoja de borrones. la 17 para ser exactos

  • 3. Iñaki `Peña  |  Feb 16 2006, 11:25 am

    Cual esla solución al acertijo?

  • 4. Juan Luis  |  Feb 16 2006, 3:50 pm

    Yo pensaba que eran 4 y 7…

  • 5. David Ramírez Espinoza  |  Feb 16 2006, 4:38 pm

    La solución es 4 y 13.

  • 6. Alberto  |  Feb 17 2006, 5:55 am

    ¿Alguien que sepa la solución podría contar cómo llegó a esa conclusión?
    Por mucho que lo pienso no caigo …
    Gracias.

  • 7. Maria  |  Feb 17 2006, 7:09 am

    ¿como sacais esa conclusion?

  • 8. Ivan  |  Feb 17 2006, 9:23 am

    ¿podrias explicar un poco mas como llegas a la solucion? Gracias

  • 9. Carlos  |  Feb 18 2006, 10:42 pm

    Creo que la solucion es 8 y 3, pero no estoy del todo seguro.

  • 10. maria  |  Feb 19 2006, 1:05 pm

    ¿me podria decir alguien si tiene algo q ver la “s” y la “p”?

  • 11. ricardo  |  Feb 20 2006, 11:34 am

    Andresito está dando las soluciones mínimas posibles.

    Trataré de explicar:

    1) Si P no puede deducir los números, esos números
    NO son de la forma p1*p2, siendo p1 y p2 primos.

    2) Si S sabe que esa es la situación, se deben excluir de la lista
    de valores de la suma los valores p1 + p2.
    La lista de valores de suma que NO dan valores únicos de productos
    empieza en 4 y termina en 53 por la limitación de la suma en 100.

    Para p1 = 2, se excluyen de la lista suma
    los valores impares P + 2 .
    La suma de primos impares va eliminando los números pares.
    Finalmente quedan los compuestos impares + 2.

    Números posibles de S:
    11 , 17 , 23 , 27 ,
    29 , 35 , 37 , 41 , 47 , 53.

    3) Con esta información se construyen los productos posibles
    para cada suma:

    11 : (2*9) 18 ,(3*8) 24 , 28 , 30

    17 : 30 , 42 , 52 , 60 , 66 , 70 , 72

    23 : 42 , etc.

    etc.

    Las listas de productos posibles son muy sencillas de construir.
    El primer término es 2 * (S – 2) ,
    el segundo se obtiene sumando (S + 1)/2 (Par),
    los sucesivos se obtiene sumando
    la diferencia anterior – 2 , etc.

    Para que P conozca el valor de la suma, debe tener un número
    que NO figure en distintas sumas.

    P.Ej.: Se excluye 30 ( Sumas 11 y 17).

    Se deben suprimir estos valores Productos que comparten Sumas.

    Como las sucesiones de productos son crecientes,
    es sencillo encontrar valores comunes y suprimirlos.

    Esto deja una lista de valores posibles
    para que P pueda conocer los números.

    11 : ( 3 casos) 18 , 24 , 28

    17 : ( 2 casos) 42 , 72

    23 : (10 casos)

    27 : (12 casos)

    etc. ( > 10 casos)

    4) Para que S conozca cual era el producto, una de estas listas
    debería tener UN CASO.

    Ya que este no es el caso, se debería excluir
    alguna de las dos soluciones posibles
    con otra restricción ad hoc.

    Soluciones mínimas: 13 y 4 – 8 y 9.

    Acotación:

    Al principio, encaré el problema por fuerza bruta,
    ayudándome con una planilla Excel,
    con la que estuve forcejeando más de dos horas.

    En otro momento, con birome y papel,
    de forma razonada, pude reproducir
    los resultados principales en 20 minutos.

    La moraleja parece sencilla, pero no lo es tanto.
    La segunda solución “razonada” le debe mucho
    al conocimiento de los datos obtenidos por el primer método.

    Me agradaría conocer sus comentarios.

  • 12. Juan Luis  |  Feb 21 2006, 3:47 pm

    Dos cosas:

    -No entiendo la limtación a 53 de la suma. ¿Por qué hay que excluir, por ejemplo, la suma 57, que no es suma de primos?
    -Si no he entendido mal el razonamiento de Ricardo, 8 y 9 queda excluido pues su producto es 72, que es producto de 3 y 24, que suman 27, que está en la lista…

  • 13. Carlos  |  Feb 21 2006, 9:03 pm

    La verdad es que me senti bastante frustrado cuando vi la solucion que han publicado, estuve mucho tiempo intentando descubrir como sabria S la suma ( aunque yo llegue a la solucion de 8 y 3, que no es ninguna de las dos posibles ), hubiera sido mejor saber lo de las dos posibilidades desde un principio, o si el acertijo estuviera totalmente determinado. De resto, este me encanto y me mantuvo entretenido un largo rato,gracias!

  • 14. Tachenko  |  Feb 22 2006, 2:13 pm

    Tal y como yo lo veo el razonamiento es:
    P: No sé cuáles son los números.
    Luego P no es producto de dos primos ni un cubo de un primo.

    S: Ya sabía que vos no sabías cuáles son los números.
    Luego S no se puede descomponer en suma de dos primos. Posibles valores de S: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59…)

    P: Ahora ya sé cuáles son los dos números.
    Luego de las posibles descomposiciones de P en factores, sólo una de ellas suma un número que no se puede descomponer en suma de dos primos (11, 23, 27…)

    S: Ahora ya sé cuáles son los dos números.
    Luego de las posibles descomposiciones de S en sumandos, sólo una de ellas cumple las tres condiciones anteriores.

    Comenzando un tanteo por S=11 vemos que los posibles valores serían (3,8) (4,7) (5,6) y (2,9). Pero para ninguna de estas combinaciones se cumplen todas las condiciones. Para (3,8) (2,9) y (4,7) se cumplen las tres primeras pero no la última, el matemático S no sabría cuál es el P, pues podría ser 18, 24 ó 28.

    Si seguimos con S= 17 llegamos a que la solución es 4 y 13.

    Estoy de acuerdo con los dos puntos de Juan Luis. 8 y 9 no pueden ser solución.
    Y tampoco entiendo por qué se paran las posibles sumas en 53. De hecho, no veo porqué se incluye en el enunciado esa restricción, yo veo más sentido que el producto sea menor o igual que 100, pues si no, serían solución 7 y 16. Así, ya no hablaríamos de soluciones mínimas, sino únicas. ¿Qué opinan?

  • 15. Juan Luis  |  Feb 23 2006, 2:44 pm

    Os explico cómo he llegado yo a la solución

    Las posibles sumas son aquellas que no son suma de dos números primos, o sea:

    17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95 y 97

    Al decirle S que ya sabía que no iba a saber los números, P enseguida determina cuál es el resultado. ¿Por qué? La seguridad que tenía S significa que la suma no puede ser de dos números primos y por tanto no puede ser par. Como dos números pares suman par y también dos impares, los números buscados deben ser uno par y otro impar.

    Si P consigue saber el resultado es porque pasa una de estas dos cosas:
    a) De las posibles factorizaciones del producto, sólo una es par x impar, por lo que es esa sin ninguna duda. Eso ocurre si el producto es potencia de 2 x número impar primo
    b) De las posibles factorizaciones del producto, todas las que son par x impar suman un número que es suma de primos salvo una, que es la elegida.

    Así, de las posibles sumas quedan descartadas aquellas que tengan dos combinaciones que pertenezcan a los casos a) ó b).

    Así, por ser suma de dos combinaciones potencia de 2 x número impar primo, descartamos:
    23= 4+19 = 16+7
    27= 4+23 = 16+11
    35= 4+31 = 16+19
    37=8+29=32+5
    47=4+43=16+31
    51=4+47=8+43
    57=4+53=16+41
    77=4+73=16+61
    79=8+71=32+47
    83=4+79=64+19
    87=4+83=8+79
    93=4+89=32+61
    95=91+4=16+79

    Por tener una combinación que es potencia de 2 x número impar primo y otra que, de todas las posibles factorizaciones de su producto, todas las que son par x impar suman un número que es suma de primos salvo una, que es la elegida, descartamos:

    29=16+13 y 29=2+27, ya que 54 sólo tiene una factorización (2*27) que no es suma de primos (6+9=15 y 18+3=21 son sumas de primos)

    41=4+37 y 41=16+25 ya que 400 sólo tiene una factorización (16*25) que no es suma de primos

    53=16+37 y 53=32+21 ya que 672 sólo tiene una factorización (32*21) que no es suma de primos

    59=16+43 y 59=32+27 ya que 864 sólo tiene una factorización (32*27) que no es suma de primos

    65=4+61 y 65=8+57 ya que 456 sólo tiene una factorización (8*57) que no es suma de primos

    89=16+73 y 89=32+57 ya que 1824 sólo tiene una factorización (32*57) que no es suma de primos

    97=8+89 y 97=4+93 ya que 372 sólo tiene una factorización (4*93) que no es suma de primos

    Con lo que cuál nos queda sólo 17, para el que probamos todas las combinaciones de sumas par + impar y sólo 13+4 cumple las condiciones pedidas ya que el producto del resto de parejas admite más de una factorización que no es suma de primos.

    Por tanto 13 y 4 es la solución

    (He transcrito todo desde la hoja de cálculo así que espero no haber cometido ningún error)

  • 16. Tachenko  |  Feb 24 2006, 6:36 am

    Juan Luis, yo hay una cosa que no comprendo de tu lógica y es la condición a.
    a) De las posibles factorizaciones del producto, sólo una es par x impar, por lo que es esa sin ninguna duda. Eso ocurre si el producto es potencia de 2 x número impar primo.
    Imaginemos que los números son 13 y 8.
    El producto es 104, y P no sabe el resultado al iniciar la conversación porque tiene tres factorizaciones posibles (13,8) (26,4) y (52,2). De ellas sólo una es par x impar..
    La suma es 21, que se puede descomponer en 19 y 2, dos primos. En esta caso S no puede estar seguro antes de la conversación de que P no sabe la respuesta, pues pensaría que si el producto fuera 38, P sabría los números. Entonces no se puede llegar a la tercera frase en que P encuentra el resultado.

    Otra cosa que no entiendo es por qué no incluyes como posible valor de S el 11 que se puede descomponer en (2,9) (3,8) (4,7) (5,6). Esta suma no se pude descartar según tu razonamiento. Pero sí se descarta porque de todos los productos posibles 18, 24, 28 y 30 hay más de uno que cumple que de su descomposición en factores sólo hay una que suma un número incluido en el conjunto de valores posibles de S.

  • 17. Tachenko  |  Feb 24 2006, 6:44 am

    Por cierto lo que apunté en mi primer post sobre 16 y 7 fue un error, me equivoqué al sumar.

  • 18. Tachenko  |  Feb 24 2006, 7:16 am

    No, no, lo he pensado bien, y veo que tienes razón Juan Luis. Al final la lógica que yo proponía no incluye esa condición a. Funciona igual porque todos sus casos están incluidos en la b, pero lo hace más sencillo.

  • 19. Juan Luis  |  Feb 24 2006, 1:02 pm

    Llevas razón, Tachenko, me comí el 11. Lo tenía en mi tabla de números que no son suma de dos primos pero se me olvidó meterlo después en “la máquina” de razonamientos… Efectivamente, el 11 tiene más de una combinación (de hecho es 4+7=8+3), por lo que queda excluido.

    En cuanto a la condición a) se limitaba a aquellos posibles valores de S que no eran suma de dos primos.

    Yo estaba de acuerdo con tu método pero pensaba que aunque comprobáramos que el 17 daba lugar a la solución 13 y 4, había que descartar que hubiera otras soluciones con el resto de posibles valores de S.

    La impresión que me queda con este (fantástico) problema que tanto trabajo me ha dado es que tiene que haber una forma más matemática de resolverlo que no sea ir estudiando cada posibilidad.

    Aunque yo, de momento, ya he tenido bastante…

  • 20. Fernando  |  Mar 11 2006, 10:32 am

    Los números son el 3 y 4.
    La explicación es la siguiente: por la conversación deben haber sólo dos alternativas, que P administra y que por el simple comentario de S, P despeja encontrando la solución.
    En términos concretos:

    S = 7 y P = 12.
    Las posibles composiciones de la suma de 7 son : 1+6, 2+5 y 3+4.
    Las posibles composiciones del producto son: 1*12, 2*6 y 3*4.

    S descarta 1+6, por el enunciado. Quedan 2+5 y 3+4. Pero en la conversación P dice que no sabe cuáles son los números, y si fuera “2+5”, P sería 10, lo que es incongruente. Cualquiera sabe que los únicos factores de 10 son 2 y 5.

    P, por su parte, descarta 1*12 por el enunciado y queda con dos alternativas: 2*6 y 3*4. Si los números fueran 2 y 6, la suma sería 8 y las alternativas para sumar 8 (para S) son: 2+6, 3+5, 4+4, es decir, por lo menos dos, que no ofrecerían la conversación anterior.

    Recreando la conversación:
    P: no sé cuáles son los números (…podrían ser 2*6 y 3*4…)
    S: Ya sabía que vos no sabías cuáles son los números… (… si fuera 2+5 me hubiera dicho que ya lo sabía, por lo tanto el resultado debe ser 3 y 4 …)
    P: Ahora ya sé cuáles son los dos números (… ¿cómo sabía él categóricamente que no sabía yo los números? Si fuera 2 y 6, él tampoco lo sabría, por lo tanto es 3 y 4…)
    S: Ahora ya sé cuáles son los dos números.

    Se descartan otros números por las razones que se han expuesto antes en este foro (por ejemplo, por productos en que se hace evidente cuáles serían los dos números originales) y porque números más altos darían más alternativas a S y P que los confundirían sin poder llegar a la conversación anterior.
    Son dos los detalles interesantes: de los números 3 y 4, es el último el que da dos alternativas por ser un número producto del 2*2; el segundo detalle es que son varias las alternativas matemáticas que se expusieron antes, pero lo interesante de un problema de ingenio es que siempre tiene una sola alternativa y que hay que encontrarla más allá de lo simplemente evidente (en psicología se le llama dar un salto lógico, o cambiar de paradigma).

  • 21. Belen  |  Mar 11 2006, 7:04 pm

    me parece q la deducion de ricardo 8 es cualquier cosa, me mareo con lo q dijo y no tienen nadaq ver lso numerosa primos, em parece un razonamiento para hacerle perder el tiempo a la gente, muy malo y sin rta alguna

  • 22. Eduardo  |  Mar 14 2006, 8:09 am

    Cuando publicasteis este acertijo, enseguida quedé atrapado…aun sigo en sus redes. Creo que en los comentarios hay algunos razonamientos que se desvian de la solucion del problema. Podeis visitar hasta donde he llegado con él en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/55/45/.
    Saludos

  • 23. Juan Luis  |  Mar 24 2006, 5:10 am

    Pensé que ya no había movimiento en este problema, pero me alegra ver que sí.

    Fernando, no pueden ser 3 y 4 porque suman 7 y entonces el Sr. S no podría estar seguro de que P no supiera los números ya que una posible suma de 7 es 5+2 y en ese caso P=10 y P sabría cuáles son los números.

  • 24. Jorge  |  Apr 14 2006, 12:56 pm

    Respondiendo a la 14 de Tachenko…:
    Mi solución es el 23 y el 32!!
    (Tengo otros 6 pares de números, 3 de ellos son 2 números compuesto y los otros 3 son 1 primo y otro compuesto y se diferencian en alguna cosa, en estos dos que he dado la solución)

  • 25. Jorge  |  Apr 14 2006, 4:00 pm

    Creo que no estamos encaminando en que el resultado de la suma tenga que ser distinto de la suma de 2 números primos(porque el producto no puede ser único,es decir de 2 números primos).Pero el par de números puede ser 2 números pares ó compuestos y así ninguno de los 2 protagonistas sabría nada.Así que partimos de la base de que uno tiene que ser impar(y creo que si puede ser,que sea primo)y otro par.(ni son 2 primos ,ni son 2 compuestos)
    Hay una hipótesis que hacéis que no me convence, que es que la suma tenga que ser distinta a la de 2 números primos y así quedan sólo 11,17,23…(como resultado de la suma), yo creo que hay resultados impares de las sumas que se ha quitado porque sí(ya que las sumas entre 2 números primos también se pueden hacer con un impar y 1 compuesto y por lo tanto no se debe quitar algunas).

  • 26. camila arriagada  |  Jun 7 2006, 3:16 pm

    la verdad esque yo no entiendo cuales son los numeros exactos por mas que me expliquen no entiendo aunque no lo crean yo soy muy inteligente pero no hay caso bueno visitenme en camilita13_cuchuandre@hotmail.com
    chao ojala que pueda entender

  • 27. AVM  |  Jun 20 2006, 7:03 pm

    A mi me sale 20 y 4…

    Me ha parecido muy bueno ;-)

  • 28. tin  |  Jun 20 2006, 11:27 pm

    99 y 1. eso es!

  • 29. Anonymous  |  Jun 21 2006, 1:27 am

    98 +2?

  • 30. Diego Buendia  |  Jun 21 2006, 4:44 am

    Muy sencillo, solo hay un numero cuyo producto y suma son unicos y al mismo tiempo tienen dos soluciones goodbikes.es

  • 31. Diego Buendia  |  Jun 21 2006, 4:49 am

    2+2 = 4

    pero puede ser 4×1 o 2×2

    si P no lo sabe, la respuesta del otro le aclara todo y al mismo tiempo a los dos

  • 32. Ignorante  |  Jun 21 2006, 6:20 am

    Habrá alguno entre todos estos “sabios” que tenga la decencia de explicar el resultado de manera pedagogiga, digo para nosotros los incultos.

    Estoy de acuerdo con lo que dice Belén.

    ¿ De que forma se deduce por la conversación de los matematicos que estan excluidos o incluidos (ya ni me acuerdo con semenjante dialectica confusa)los numeros primos ?

    Algo más de razonamiento claro y no esa prosa que solo pretende “descrestar” a los demás

  • 33. Yabu  |  Jun 21 2006, 7:27 am

    ¿Esto no es un problema de logica epistemica dinamica?

  • 34. Mora12  |  Jun 21 2006, 12:08 pm

    29 y 87 ?

  • 35. supreme  |  Jun 21 2006, 9:27 pm

    JA demasiado facil, lo resolvi en 15 minutos, un mero trámite…

  • 36. JLD  |  Jun 22 2006, 9:06 am

    Veo que muchos han llegado a la conclusión de que los números son 13 y
    4, aunque no entiendo el razonamiento. Pero creo que la solución es
    errónea. Por el contrario, creo que los números 6 y 2 dan la respuesta correcta.

    Voy a tratar de explicarme. Supongamos que es cierta. Entonces el matematico S vería 13+4=17,
    mientras que el matemático P vería 13*4=52.

    Veamos si bajo esta hipótesis el diálogo que mantienen los matemáticos
    tiene sentido:

    Conociendo la suma 17, S no puede saber a priori si se trata de 2+15, 3+14,
    4+13, 5+12, 6+11, 7+10 u 8+9. Siete posibilidades.

    Conociendo 52, P no puede saber si los números eran 2*26 ó 4*13, Sólo
    dos posibilidades, pero de momento no puede decidirse por una, por lo
    que expresa”No sé cuáles son los números”. Hasta aquí bien.

    Ahora S sabe además que P tiene dos o más posibles casos, por lo que el
    numero recibido por P no era un producto de primos. Así que de su
    lista inicial puede tachar las sumas de dos primos. ¡Pero no hay
    ninguna! Sigue con la duda, por lo que expresa “No sé cuáles son los
    números”. Sigue teniendo siete posibilidades. Hasta aqui el diálogo encaja.

    Ahora P sabe además que, una vez que S ha tachado de su lista de
    candidatos a todas las parejas de primos, aún le quedan varios
    resultados donde elegir. ¡Pero esta información no ayuda nada a P, ya
    que, tanto si los números eran 2*26 como si eran 4*13, las listas de
    candidatos que vería S son en ambos casos demasiado largas! (ya hemos
    visto que el caso 4+13 deja a S con la duda entre 7 posibilidades. Es
    fácil ver que el caso 2+26=28 también tiene una larga lista de
    posibilidades incluso después de quitar las parejas de primos).

    Por tanto, si estos fueran los números ahora P no podría concluir “Ya
    sé cuáles son” ¿con qué razonamiento concluiría eso?. Por eso creo que 3 y 14 no es la solución correcta.

    Por el contrario, la pareja 6 y 2 sí que encaja perfectamente en el
    diálogo de los matemáticos. Veámoslo:

    S recibe el 8 (suma de 6+2), pero de momento no sabe en cuál de los
    tres casos siguientes se halla: 2+6, 3+5, 4+4.

    P recibe el 12 (producto de 6*2), pero de momento no sabe en cuál de
    los dos casos siguientes se halla: 3*4, 6*2

    Habla primero P y dice “No sé los números”.

    Ahora S ya sabe que puede tachar el caso 3+5, ya que si fuera este el
    caso, P habría recibido el 15 y habría deducido inmediatamente que
    eran el 3 y el 5, ya que es la única descomposición posible. De modo
    que S tacha el caso 3+5 y aún le quedan dos 2+6 y 4+4. Como sigue con
    duda, dice “No sé los números”.

    Al oir eso, P sabe que tras tachar las parejas de primos, a S aún le
    queda más de un caso. Esto le permite a él tachar el caso 3*4, ya que
    si fueran 3 y 4, S habría visto el 7 y el 7 sólo se puede expresar con
    las sumas 2+5 y 3+4, y tras tachar las parejas de primos (2+5)
    quedaría sólo el 3+4 por lo que S ya habría deducido los números. Pero
    S no los ha deducido, y eso significa que no era el caso 3,4. Por
    tanto tiene que ser el caso 2,6. De modo que P dice “Ya sé los
    números”.

    Al oir eso, S puede descartar el caso 4+4, ya que en este caso P no
    podría haber deducido nada. El lector puede convencerse de esto si
    examina las posibilidades que P tendría si su número fuese 16
    (4*4). De modo que a S le queda solo el caso 6+2, por lo que dice
    también “Ya sé los números”.

    Así pues, el caso 6, 2 encaja perfectamente con el diálogo del
    problema. Otro asunto en el que no voy a entrar por no extenderme,
    sería el demostrar que esa es la única pareja de números que encaja en
    el diálogo. Y también explicar cómo he llegado a ellos :-)

  • 37. JLD  |  Jun 22 2006, 9:15 am

    Ops!

    ¡Acabo de darme cuenta de que he estado resolviendo un acertijo completamente diferente! (y aparentemente más sencillo), ya que la primera frase de S no es “Yo tampoco se los numeros”, sino “Yo ya sabía que vos no sabíais”. Esto lo cambia todo.

    Ignorad mi comenterio anterior.

  • 38. Aitor  |  Jun 22 2006, 11:17 am

    Yo creo que los numeros son 28 y 49.

  • 39. DIOS  |  Jun 23 2006, 12:35 am

    a ver, despues de un analisis muy sencillo, llegue a la siguiente conclusion:

    la conclusion la sake sumando letras…

    si asi es, letras de la frase que intercambian P y S

    P: “No sé cuáles son” los numeros… = 13 letras (entre las comillas)

    S: “Ya sabía que vos no sabías cuáles son” los números. = 30 letras (entre las comillas)

    la suma da 13 y el producto 30, los numeros son 3 y 10…

    Alabenme… era asi de simple…. nada de calculos maniaticos… o me ekivoco rotundamente??

  • 40. Juve  |  Jun 24 2006, 9:11 am

    La clave esta en que con el reultado que tiene, S sabe que es imposible que P sepa los numeros, es decir, tiene una cracteristia especial, mientras que al confirmarla P esta caracteristica, este averigua de inmediato los numeros, porque el conjunto de soluciones posibles que tenia, solo una posee una cualidad unica.
    S no puede tener un numero par, ya que estos se contruyen como suma de numeros primos y el prodcto de estos es un nresutado unico para este caso, recordemos que el 1 esta elminado, ademas la suma no puede conener numeros primos, y no ser inferior a 10, ya qe no se cumpliria la caracterisca de un solucion para P. Para no enedar mas la cosas los numeros son 3 y 32. Examinemos, S tiene como esultado 35, numero impar, solo fabricado a partir de un numero pa y otro impar, cuyo producto es un numero par, 96, que es el ue tiene P, este presenta las siguines posibiliddes de construccion:(2, 48), (3, 32), (4,24), (6,16) y (8, 12), solo la suma de 3 y 32 a impar. Con esta misma logica S descubre los numeros.

  • 41. mandoman  |  Jun 26 2006, 5:18 pm

    1)Los números no pueden ser dos primos,si lo fueran al factorizar su producto daria como resultado esos dos unicos numeros.

    2)Para que S le diga a P que el ya sabia que P no lo podia saber,una de las posibles combinaciones de sumas no puede ser la de dos numeros primos,porque en ese caso S no podria asegurar que P no lo podia saber.
    El 17 es el unico numero que cumple con el enunciado y que no se puede anotar como suma de dos numeros primos.

    A + B =17

    3)Para que P sepa la respuesta despues de que S le diga que no lo puede saber solo puede tener dudas entre dos posibles productos de numeros.
    Para que esto ocurra el producto P debe tener solo tres factores de numeros primos y que uno de esos factores se repita (A . A . B).

    4)La unica combinacion de numeros cuya suma sea 17 y su producto sea de la forma (A . A . B) son la del 4 y el 13.

  • 42. _Red_  |  Jun 27 2006, 3:53 pm

    Al leer este problema no pude evitar resolverlo; y después de más de media hora de darle muchas vueltas llegué a una conclusión hasta ahora dada por mí como verdadera…Los números son 6 y 2.

    Pues no es más que trabajar con los divisores, eliminar los cuadrados perfectos, los primos y buscar el menor posible porque en el diálogo entre los 2 matemáticos para que se dé esa conclusión debe de haber un número mínimo de posibilidades para que acierten tan rápidamente.

  • 43. coque  |  Jun 28 2006, 9:32 pm

    Muy buenas!

    El otro día un familiar me entregó el problema.
    He estado dándole muchas vueltas, y mi lado friki me ha hecho recurrir a la programación.
    Buscando la solución para comprobar el resultado que he encontrado este foro.
    Solo queriá comentar que según la programación (java) los números son 4 y 13.

    El algoritmo que he seguido es el siguiente:

    Paso 0: El matemático P no sabe cuales son los números, ya que el producto no coincide con el producto de dos números primos. Si coincidiese conocería desde el principio los dos números.

    Paso 1. Calcular los números primos del 2 al 98.

    Paso 2: Calcular los números que no sean suma de dos números primos con lo obtenido en el Paso 1 (el matemático S sabe que P no sabía los números porque la suma no coincide con ninguna suma de dos numeros primos).

    Paso 3: Calcular los números que no son producto de dos números primos con lo obtenido en el Paso 1 (son los posibles productos que le han dicho a P, basándonos en que el Paso 0).

    Paso 4: De lo obetnido en el Paso 3, coger aquellos numeros que son producto de una pareja cuya suma esté incluida en los números del Paso 2 una sola vez – una sola solución (el matemático P ya sabe cuales son los dos números).

    Paso 5: De lo obtenido en el Paso 2, filtrar aquellos numeros que son suma de una pareja cuyo producto esté incluido en los números del Paso 4 una sola vez (el matemático S ya sabe cuales son los dos números).

    Puf… ingeniero tenía que ser…

    Saludos!

  • 44. fastimer  |  Jun 29 2006, 1:14 pm

    Yo lo he resuelto de la siguiente forma :

    1) De la primera afirmacion se deduce que el producto de los números no es primo, ni productos de 2 primos.

    2) De la segunda se deduce que la suma no puede ser suma de dos primos.

    3) De aqui se deduce que el producto tiene una única descomposición en 2 factores que cumplan que su suma esté entre los valores calculados en el punto 2). En este paso se seleccionan los productos que cumplan esto (solo se calculan en el caso que cumplan 1) tambien).

    4) De aqui se deduce que la suma solo puede corresponder a un unico par de valores cuyo producto y suma cumplan todas las condiciones anteriores. De los valores que cumplen 3) solo uno no se repite, que es :

    ———>>>>> 2 y 49

  • 45. del Alamo  |  Jul 14 2006, 7:51 am

    Interesante problema, a fe mía.
    Necesariamente los comentarios van a ser muy sucintos, por razones de espacio.
    Llamaremos MS al Matemático Suma y MP al Matemático Producto. Igualmente llamaremos “p” al producto y “S” a la suma. Los números se designarán como “a” y “b”.
    Observaciones preliminar 1ª:
    Por el primer comentario de MP, los números no pueden ser primos. De ello se deduce que una primera acotación sería,
    6 =3) + (4, 8, 16, 32). Si elaboramos una lista con este criterio (muy simple), y eliminamos de esa lista las sumas (factibles) que aparezcan dos veces o más, las que quedan serán candidatas a genera productos de Orden 1. Las sumas (factibles) que quedan, después del filtraje, como candidatas, son:
    17, 29, 41, 53, 59, 65, 89, 97.
    Consideremos las sumas:
    41, 53, 59, 65, 89, 97.
    Nótese que pueden considerarse con la estructura:
    S = 3 * (2*h + 1) + ( 32, 64 ), con h = 1, 2, 3…
    Este tipo de estructura garantiza que la suma sea impar, el producto par y que tal producto sea único puesto que todos los productos impares de 3 lo son. No se puede definir otra suma factible en el conjunto [ 41.......97 ] que consideramos, puesto que de su factorización resultaría que las sumas obtenibles estarían fuera del rango de acotado de S.
    No es necesario insistir en que los productos de Orden 1 que ahora resultarían es imposible que coincidan con los que sirvieron para el filtrado anterior; en definitiva, la sumas factibles consideradas, 41, 53, 41, 53, 59, 65, 89, 97, con toda seguridad dan lugar, como mínimo, a otro prodcto de Orden 1 además del poducto de Orden 1 al que daban lugar anteriormente. Como consecuencia no son candidatas a generar un solo producto de orden 1 que es lo que buscamos.
    Nos quedan las sumas factibles 17 y 29 como candidatas.
    Pero 29, como generadora de un producto de Orden 1, se generó a partir de S = Num_primo(>=3) + (4, 8, 16, 32) = 13 + 16. Pero también es de la forma 29 = 3^3 + 2, y esta nueva caracterización admite la factorización 3^3 * 2 = 54, con las sumas 3^2 + 2*3 = 15 y 3 + 2 *^3^2 = 21, ninguna de las cuales es factible. En definitiva, 29 = 3^3 + 2 da lugar a un nuevo producto de orden 1 (54), por lo que deja de ser candidata a la solución.
    Finalmente queda la suma 17, que es capaz de genera los productos factibles (a partir de la observación preliminar 3ª):
    72, 70, 66, 60, 52, 42, 30 (7 productos)
    El nº 52 ya hemos garantizado como de orden 1.
    De la simple inspección de la Lista I se deduce que:
    30 es también generable por la suma 11
    42 es también generable por la suma 23
    66 es también generable por la suma 35
    70 es también generable por la suma 37
    por lo que esos productos serán, al menos, de orden 2.
    Quedan, finalmente, los productos 72 y 60.
    Para que esos productos dejen de ser de orden 1, debe verificarse que, para alguna suma factible S cuyos intervalos de productos (ver Lista I) comprendan a 72 y 60, y el producto que se coteja, el resultado de S^2 – 4 * p sea un cuadrado perfecto.
    En nuestro caso, 23^2 – 4 * 60 = 17^2, y 27^2 – 4 *72 = 21^2. En definitiva, los productos 72 y 60 son, también, generables por las sumas 27 y 23, respectivamente, por lo que dejarán de ser productos de Orden 1.
    En definitiva, la suma 17 genera un sólo producto de orden 1, de valor p = 54, por lo que los números buscados son:
    a = (S + (S^2 – 4 * 52 ))/4 = 13, y b = S – a = 17 – 13 = 4.
    Saludos.
    del Alamo.

  • 46. quimgirona  |  Jul 23 2006, 8:02 pm

    3 y 14
    ¿Os suena un problema clásico en que hay que averiguar la edad de las tres hijas de un hombre? La pista que lo resuelve todo al final es: “la mayor toca el piano”.

    Es el mismo planteamiento:
    1) El producto admite más de una factorización (no son dos primos). Primera afirmación del problema.
    2) Los sumandos no son primos. Segunda afirmación del problema.
    De ahí deducimos la lista de posibles valores para S: 11,17, 23, 27, 29…
    3) De cada una de esas S construimos la combinación de sumandos y los multiplicamos.
    Para 11: 2+9 (18), 3+8(24), 4+7(28), 5+6(42)

    17 es el único valor para S que ofrece un único producto no repetido (filtrado al que coque hacía alusión): 30, 42, 52, 60, 66, 70 y 72.

    He utilizado Excel y le he dedicado mucho rato, pero es un problema fantástico. Y repito, me recuerda al famoso problema de “la hija pianista”.

  • 47. Luis  |  Jul 24 2006, 9:39 pm

    al matématico S le dijeron 5 y al matematico P le dijeron 6. Comentarios? Los numeros son 2 y 3

  • 48. Mª M. Casado  |  Aug 8 2006, 9:30 am

    Es bastante dificil encontrar la solución pues te dan un número de datos muy limitados

  • 49. Mª Monte Casado  |  Aug 8 2006, 9:33 am

    Otra vez yo usando palabras raras , lo importante es que te guste hacer esto yque te empeñes en resolverlo , al fin y al cabo es para matar el tiempo¿no?

  • 50. del Alamo  |  Sep 5 2006, 7:44 am

    Como advertí en mi comentario, nº 45 de Jul 14 2006, la solución que presenté, aparece truncada, a partir de la línea 10, por lo que no aparece completa. La solución, y los razonamientos, son correctos. Lamentablemente no aparecen todos. Lo siento. Si alguno desea la solución completa enviadme un e-mail
    saludos.

  • 51. del Alamo  |  Sep 6 2006, 6:13 am

    Propongo un método de solución más compacto y con menos tipografía (y bastante más “telegráfica”), para ver si esta vez no se trunca.
    Sea MS el matemático Suma y MP el matemático Producto. Sean a y b a los números buscados, S al valor de su suma, y p su producto. Admitamos los siguientes Lemas que, por otra parte, son triviales de demostrar.
    i.-Ambos números no pueden ser primos, ni su suma equivalente a la de dos primos.
    ii.-La suma de los números es impar y su producto, obviamente, par.
    iii.-Absolutamente TODAS las sumas impares en el intervalo entre 3 y 99 (ambos inclusive), pueden definirse con la estructura: S = Nprimo + 2^alfa, con alfa ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
    iv.-La lista de sumas factibles (de entre las que se encuentra la solución) es: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53, 57, 59, 65, 67, 71, 77, 79, 83, 87, 89, 93, 95, 97.
    Razonamiento preliminar:
    v.-Un producto candidato a la solución sólo puede ser generado por una sola suma factible. Dicho sea de otra forma, un producto candidato a la solución no puede ser generado por los componentes de dos sumas factibles diferentes. Diremos, brevemente, que un producto candidato a la solución es un producto de orden uno. Si no fuera así, significaría una indeterminación para el matemático MP
    vi.-En general los componentes de una suma factible podrán darán lugar a diferentes productos, algunos de ellos sólo generables por algunas composiciones de tal suma, esto es, de orden uno.
    -A tenor del apartado v, Cuando el matemático MS, escucha a MP, deduce que MP posee un producto que es generable por, solamente, una suma factible, es decir, un producto de orden uno. La única posibilidad que tiene el matemático MS de afirmar que conoce la solución (y por tanto el producto) es que, de todos los productos que pueda generar la suma factible que él posee, haya uno y solo uno, de orden uno.
    SOLUCIÓN PROPUESTA:
    1.-
    Consideremos la estructura del párrafo iii.
    -Si alfa = 0, entonces S = 1 + Nprimo, lo que no es posible pues los sumandos deben ser mayores que uno.
    -Si alfa = 1, entonces S = 2 + Nprimo, lo que no es posible pues está en contradicción con i, toda vez que 2 es primo.
    -Si alfa = 2,, entonces S = 4 + Nprimo es una posible estructura de candidatos.
    -Si alfa es mayor o igual a 3, entonces S = Nprimo + 2^alfa genera el producto:
    p = (2^alfa) * Nprimo = (2^(alfa-1))*2*Nprimo, que también puede ser generado por la suma S = 2^(alfa-1) + 2*Nprimo, con lo que el producto no sería de orden uno y sería una contradicción respecto de v.
    -En consecuencia, la estructura de las sumas candidatas a la solución ha de ser, necesariamente, S = 4 + Nprimo.
    Esto significa que, de la lista de Sumas factibles, es preciso segregar aquellas que no satisfagan la condición anterior.
    A partir de la lista de números primos, sumándoles cuatro y conservando aquellos que pertenezcan al conjunto inicial de sumas factibles, se tendría la siguiente nueva lista de sumas factibles, a la que denominaremos Lista Restringida de Sumas factibles: 11 17 23 27 35 41 47 51 65 77 83 87 93.
    Sea SR una de tales sumas, y supongamos que existe una suma para la que se verifica que SR = 2^alfa + Nprimo = 2^beta + Mprimo, o sea, SR = 4 + Nprimo = 2^beta + Mprimo,
    donde Mprimo sería un número primo (diferente de Nprimo), ybeta distinto de alfa, con beta mayor que alfa, beta = 3, 4, 5, 6.
    Si tal cosa sucede, entonces la suma no generaría un solo producto de orden uno y, por lo tanto, habría que quitarla de la Lista Restringida de sumas candidatas a la solución.
    2.-
    Para examinar si existe solución a la ecuación, debe verificarse que Mprimo = 4 + Nprimo – 2^beta, o sea, Mprimo = SR – 2^beta.
    -Hallemos, entonces la diferencias, SR – 8, SR – 16, SR – 32, SR – 64 y comprobemos si el resultado es un número primo. Si lo es, la suma factible correspondiente, de la Lista Restringida, debe ser eliminada como candidata.
    -El resultado es un número primo para alguna de las situaciones cuando SR = 11, 23, 27, 35, 47, 51, 77, 83, 87, 93. En consecuencia la Lista Restringida de Sumas factibles queda reducida a: 17, 41, 65, que permanecen como candidatas a la solución.
    Definamos, para las sumas una posible estructura con sumandos del tipo: SR = 3 ( 2 h + 1 ) + 2^5, con h = 1, 2, 3, …. que garantiza que la suma sea impar (producto par) y, que tal producto sea de orden uno, puesto que todos los productos impares de 3 son diferentes.
    -Véase que, en efecto, 41 (= 32 + 9) da lugar a un producto de orden uno como 288 (= 32 x 9 ). Pero, la estructura estándar, 41 (= 4 + 37), da lugar al producto de orden uno, 148 (= 4 x 37). En definitiva la suma 41 da lugar a dos productos de orden uno luego no puede ser la suma que posee MS.
    -Análogamente, de 65 (= 32 + 33), se obtiene un producto de orden uno como 1056 (= 32 x 33), luego, la suma 65 da lugar a dos productos de orden uno, por lo que no puede ser la suma que posee MS
    -La suma 17 (= 4 + 13), da lugar al producto 52 (= 4 x 13) y es un producto de orden uno porque la estructura es de la forma SR = 4 + Nprimo. Es la única suma que queda como candidata a la solución.
    3.-
    El número total de productos generables por la suma 17 es de ( 17 – 3 )/2 = 7 y los productos posibles son pk = (17^2 – (2*k -1)^2)/4 con k = 1, 2, 3, …., o sea, p = {72, 70, 66, 60, 52, 42, 30}. Para que la suma 17 sea la solución, sólo uno de tales productos debe ser de orden uno.
    -Los productos: son generables, respectivamente, por las sumas, , porque sqrt(SR^2 – 4*p) es un número entero para tales parejas de valores.
    -En definitiva, los productos 72, 70, 66, 60, 42, 30 son, al menos, productos de orden dos. Como el producto 52 es de orden uno y está generado por la única suma factible (17) que queda, resulta que la suma (17) y el producto (52) son la solución del problema.
    -Obviamente, los números buscados son:
    a = (17 + sqrt(17^2 – 4 * 52))/2 = 13, b = 17-13 = 4.
    Saludos.

  • 52. wilson padilla  |  Sep 6 2006, 2:48 pm

    los dos numeros son 2 y 2 el mismo problema te da la respuesta

  • 53. Jaime  |  Sep 23 2006, 7:37 am

    47. Luis Y 52. wilson padilla –> Pensar un poco mas, si fuera 2 y 3 o 2 y 2, los matematicos no se hubieran ni llamado, ambos sabrian la solucion, de antemano.

    Matematico Suma –>
    5 solo tiene una solucion es 2+3, ala a casa.
    4 solo tiene una solucion es 2+2, ala a casa.

    Matematico Producto –>
    6 solo tiene una solucion es 2×3, ala a casa.
    4 solo tiene una solucion es 2×2, ala a casa.
    Recordar que el 1 no es valido.

    Segun mis pruebas, pienso que son 4 y 13.
    He seguido un razonamiento muy similar al de (43. coque) que pienso que es el que mas claro y simple lo ha explicado.

  • 54. la canaria  |  Oct 1 2006, 1:43 pm

    los numeros pueden ser cualquiera porque uno tiene el producto y el otro el resultado ambos son la misma cosa por lo consiguiente no hay logica es matematica todos sabemos que la matematica no tiene logica

  • 55. marlon  |  May 9 2007, 2:52 am

    ey esta biend dificil, pero estoy emocionado por contestarlo

  • 56. MARIA  |  May 11 2007, 1:49 am

    Me tuvo atrapada este acertijo, y aunque le las soluciones propuestas intent llegar sola a mi manera. Ah va la solucin que encontr:
    De: P: No s cules son los nmeros. y S: Ya saba que vos no sabas cules son los nmeros. saco las condiciones para considerar SUMAS posibles y hago lo siguiente:
    1: Elimino los nmeros pares pues son SUMA de dos primos
    2: Elimino los impares que son SUMA de dos primos, o sea “primos + 2″
    3: El nico cubo de primo que entra como PRODUCTO es 27= 3×9, cuya SUMA ya queda eliminada por ser par (3+9=12)
    Hasta aqu quedan como posibles SUMAS:

    11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57
    59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97

    Las SUMAS de 57 en adelante se pueden escribir como (53 + otro).
    El 53, primo, no se puede asociar con otro factor pues superara 95 que es hasta ahora el “n” mayor posible, entonces esas SUMAS dan al menos un caso de un solo PRODUCTO posible, por lo cual las descarto.
    Quedan entonces como SUMAS posibles:
    11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53

    Lista de PRODUCTOS posibles para cada una de las SUMAS posibles anteriores:

    Suma 11: 18 24 28 30
    Suma 17: 30 42 52 60 66 70 72
    Suma 23: 42 60 76 90 102 112 120 126 130 132
    Suma 27: 50 72 92 110 126 140 152 162 170 176 180 182
    Suma 29: 54 78 100 120 138 154 168 180 190 198 204 208 210
    Suma 35: 66 96 124 150 174 196 216 234 250 264 276 286 294 300 304 306
    Suma 37: 70 102 132 160 186 210 232 252 270 286 300 312 322 330 336 340 342
    Suma 41: 78 114 148 180 210 238 264 288 310 330 348 364 378 390 400 408 414 418 420
    Suma 47: 90 132 172 210 246 280 312 342 370 396 420 442 462 480 496 510 522 532 540 546 550 552
    Suma 51: 98 144 188 230 270 308 344 378 410 440 468 494 518 540 560 578 594 608 620 630 638 644 648 650
    Suma 53: 102 150 196 240 282 322 360 396 430 462 492 520 546 570 592 612 630 646 660 672 682 690 696 700 702
    De P: Ahora ya s cules son los dos nmeros. y S: Ahora ya s cules son los dos nmeros. saco las condiciones para lo que sigue:
    Como se observa en las listas anteriores, la SUMA 17 es la nica que tiene un nico caso de PRODUCTO que no se repite para ninguna otra SUMA posible. Es por lo tanto la nica SUMA que le permite a S indicar con certeza una sola posibilidad, despus de que P asegura conocer n1 y n2, con lo cual P slo puede haberlo asegurado si su PRODUCTO es 52.
    Luego 52 = 4×13 = 2×26, pero se descartan 2 y 26 pues suman 28 que no es SUMA posible, quedando como nica solucin los nmeros 13 y 4…FIN

  • 57. seba  |  May 31 2007, 2:43 am

    la verdad que lei todas las respuestas. y dios me sorprendio de una manera increible, eso es pensamiento lateral y todos los que usaron programas y numeros primos y de mas yerbas deberian aprender que la inteligencia esta or encima de las formulas matematicas! sino en la simple observacion y deduccion.

  • 58. YOLOKO  |  Jun 5 2007, 3:49 pm

    Fácil. Ellos saben ahora sus números telefónicos……eso es todo!

  • 59. BOM  |  Jul 27 2007, 8:23 pm

    Creo que la solución no puede ser 13 y 4 ya que el producto (52) puede expresarse como 13*4 y 52*1, en ambos casos la suma (17 y 53) cumple las condiciones para la primer conclusión matemático al que le dieron la suma.

    Según mis cálculos los números son 16 y 1.

  • 60. fr0d0b0ls0n  |  Oct 11 2007, 9:16 am

    56 ha dado en el clavo.

    59 es imposible pues los números tienen que ser mayores que 1, condición que no cumple 1.

    Yo lo saqué de una forma un tanto cutre, se me da fatal la lógica. Para sacar las sumas probables para que S supiera que P no podía saberlo simplemente llegué a la conclusión de que era todo número que estuviera al menos a 4 de distancia del primo más cercano inferior.

    11 es 7+4
    17 es 13+4
    etc, etc.

    La lógica detrás de esto, es que cualquier número a menos distancia tiene una suma cuya multiplicación le daría la solución a P. 10, es 7+3, que es el único caso para 21. Sin embargo 7+4 ya tiene 7×4 y 14×2 como casos para 28.

    Luego para que P pudiera saberlo, su producto sólo podía coincidir con una única suma de esas.

    El 11 tiene:

    9×2 -> 3×6 = 9 es posible
    8×3 -> 4×6 = 10 es posible
    7×4 -> 14×2 = 16 es posible
    6×5 -> 15×2 = 17, no podria ser

    El 11 no puede ser, porque S no podría adivinarlo, al haber 3 casos posibles.

    El 17 tiene:

    15×2 -> 5×6 (11) no podria ser
    14×3 -> 7×6 (13) es posible
    13×4 -> 7×6 (13) es posible
    12×5 -> 3 x 20 (23) no podria ser
    11×6 -> 33×2 (35) no podria ser

    El 17 es, porque S ve que sólo es posible el caso de 3 y 14. Por tanto deduje que era este, pues si hubiera otro caso con una única posibilidad no tendría solución el problema.

  • 61. Roberto  |  Feb 25 2008, 12:31 pm

    Que locos estáis todos, xD. Pero me alegro que haya gente capaz de resolverlo

  • 62. karen yaneth  |  Jul 9 2008, 1:40 pm

    facil la solucion es 4 y 7.
    solo hay que ponerle lógica

  • 63. laura alvarez  |  Oct 5 2008, 9:19 am

    encuentra dos numeros tales que su suma sea 42 y su diferencia 6

  • 64. gi  |  Jul 2 2009, 2:22 pm

    no entiendo el problemas de saber la edad de las 3 hijas del hombre.
    que tiene que ver que la mayor toca el piano? me da la pista de que las otras dos son mellizas?

  • 65. VAD  |  Sep 5 2009, 7:43 am

    Respecto al enigma de las tres hijas, el enunciado es:
    “Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse.
    - ¡Cuánto tiempo sin verte, Edelmiro!.
    - ¡Vaya!, parece que fue ayer, Chindasvinto.
    - Y qué, ¿te casaste?.
    - Si, tengo tres hijas preciosas.
    - ¿Qué edad tienen?.
    - Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el número de la casa de enfrente.
    El amigo saca papel y lápiz, hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama:
    - Me faltan datos.
    - Si, claro, la mayor toca el piano.”

    Respecto al enigma aquí planteado, la solución es 4 y 13. Para una respuesta más entendible, consultad http://www.albaiges.com/matematicas/teorianumeros/problemaimposible.htm

  • 66. Conri L.R  |  Sep 3 2010, 10:19 am

    Hay dos personas, uno es un matemático que no sabe nada y la otra persona conoce los dos numeros.
    1º Al matemático se le enseña el producto y dice no saber cuales son los números.
    2º La otra persona le contesta, te voy a dar una pista: la suma de los dos números es menor que 25.
    ¿Cuáles son los números?

    Pd: Respuesta totalmente lógica

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