El teorema del millón de monos

Claudio H. Sánchez

El teorema del millón de monos
por Claudio H. Sánchez

En Última salida a Springfield Homero es designado presidente del sindicato en la planta nuclear. Para corromperlo, el Sr. Burns lo invita a su mansión. Entre las extravagancias que vemos en su casa figura una habitación llena de monos escribiendo a máquina. Burns explica: «aquí tenemos mil monos trabajando en mil máquinas de escribir. Pronto habrán escrito la más grande novela de toda la humanidad». Burns se acerca a una máquina y lee algo que podemos traducir como: «era la mejor y la pleor de todas las épocas» que, con un pequeño error, corresponde al comienzo de Historia de dos ciudades, de Charles Dickens.

Esta escena parodia al llamado Teorema del millón de monos, enunciado por el físico francés Émile Borel en 1913. El teorema tiene distintos enunciados, pero esencialmente dice que un millón de monos, aporreando un millón de máquinas de escribir durante un millón de años, terminarían por escribir cualquier libro, como El Quijote o las obras completas de Shakespeare.

La idea es que un libro (cualquier texto, en general) consiste en una secuencia de letras, números y signos de puntuación. Un dispositivo que genere combinaciones aleatorias de estos símbolos, tarde o temprano producirá todas las combinaciones posibles. Los monos aporreando máquinas serían este dispositivo.

Algunos números

Mr TeenyConsideremos por ejemplo, las palabras de cinco letras, como LIBRO, MESAS, o HABER. Cada palabra puede comenzar con cualquiera de las veintisiete letras del alfabeto. Para cada uno de estos comienzos hay veintisiete posibilidades para la segunda letra. Es cierto que hay pocas palabras que comienzan con una letra repetida (por ejemplo, LLAVE) pero un mono (o un generador aleatorio) no lo sabe. Entonces hay 27 por 27 (setecientos veintinueve) combinaciones posibles de dos letras. Para cada una de estas combinaciones hay veintisiete posibilidades para la tercera letra. Y así sucesivamente. En resumen, la cantidad de combinaciones de cinco letras que se pueden obtener en nuestro alfabeto es 27 por 27 por 27 por 27 por 27. Eso es igual a algo más de catorce millones. Si nuestro dispositivo generara cien de estas combinaciones por segundo, tardaría poco más de un día y medio y producirlas a todas.

Parece un tiempo modesto. Pero eso es sólo para una palabra de cinco letras. Si consideramos una frase de sesenta caracteres (más o menos la longitud de estos renglones), habría 28, multiplicado por sí mismo sesenta veces. Son 28 porque hay que agregar el espacio de separación entre palabras. Eso es un número inmensamente grande de combinaciones, y el generador aleatorio tardaría en obtenerlas más tiempo (mucho más tiempo) que el transcurrido desde el Big Bang. Ni pensar en un libro de tamaño razonable.

Sin embargo, la idea central del teorema es que la cantidad de libros posibles, escritos o por escribir, es finita. Antes calculamos que en un día y medio nuestro generador aleatorio produciría todas las palabras posibles de cinco letras, en cualquier idioma que use el alfabeto latino. Incluyendo las que podría balbucear un bebé o las onomatopeyas de cualquier animal. Trabajando más tiempo terminaría por escribir cualquier libro, incluyendo las tragedias perdidas de Sófocles, las obras completas de los escritores aún por nacer o una recopilación de nuestras composiciones escolares.

Los monos de Borges

La idea detrás del teorema del millón de monos se usado muchas veces en la literatura. Uno de los ejemplos más notables es La biblioteca de Babel, de Jorge Luis Borges. El cuento compara al universo con una biblioteca dotada de libros, todos iguales en formato: cuatrocientas diez páginas por libro, cuarenta renglones por página, ochenta caracteres por renglón.

Con esto podemos calcular la longitud de la secuencia de símbolos que forma cada libro: 410 por 40 por 80. Eso es igual a un millón trescientos doce mil caracteres. Se nos dice también que el alfabeto usado en la escritura contiene veinticinco símbolos. De modo que la cantidad de combinaciones posibles, la cantidad de libros posibles en esta biblioteca es veinticinco, multiplicado por sí mismo un millón trescientos doce mil veces. Un número tan inimaginable como el calculado antes para los renglones.

Borges (en realidad, el narrador del cuento) señala que muchos de estos libros contienen secuencias sin sentido. Por ejemplo, uno contiene las letras MCV repetidas a lo largo de todas las páginas. Otro consiste en «un mero laberinto de letras sin sentido», excepto por la frase «Oh tiempo tus pirámides» en la penúltima página. En cualquier caso, la biblioteca contiene todos los libros posibles, y su proveedor podría ser el equipo de monos del teorema.

Borges se inspiró para este relato en el cuento La biblioteca universal, escrito por el alemán Kurd Lasswitz en 1901. En él dos personas discuten sobre la cantidad y variedad de libros. Uno de los protagonistas demuestra que la cantidad es finita (aunque inmensamente grande).

También en Los viajes de Gulliver hay una alusión al teorema del millón de monos. En la academia de Lagado hay una máquina que consiste en muchísimos cubos enhebrados en alambres. Los cubos pueden girar alrededor de los alambres y tienen impresos los distintos símbolos del idioma del lugar. Al hacer girar todos los cubos se generan combinaciones aleatorias, algunas de las cuales los académicos copian para recopilar todas las obras posibles.

Otro relato acerca del teorema es Lógica inflexible, del escritor Russel Maloney. En este caso el protagonista decide comprobar el teorema empíricamente y pone a seis monos a trabajar en sendas máquinas de escribir. Para su sorpresa, los monos escriben libros de Shakespeare, de Homero, de Dickens sin producir ninguna secuencia aleatoria.

Monos virtuales

En 2003 científicos de la Universidad de Plymouth, en Devon, Inglaterra, llevaron a la práctica una comprobación del teorema: dejaron un teclado en la jaula de los monos del Zoológico de Paignton. Los monos solamente escribieron largas tiras de la letra S mientras orinaban y defecaban sobre el teclado.

A falta de monos, la generación de secuencias de caracteres se puede hacer fácilmente en una computadora. Existen en internet muchas páginas con ese objetivo. Por ejemplo, el primero de julio de 2003 se puso en marcha el sitio The Monkey Shakespeare Simulator. Contiene un programa escrito en lenguaje Java que simula un conjunto de monos tipeando aleatoriamente. El objetivo es producir alguna obra de Shakepeare o un fragmento. Hasta ahora los mejores resultados obtenidos fueron un texto de 24 letras contenido en Enrique IV y otro de 30, correspondiente a Julio César. (Aparentemente, el proyecto fue suspendido.)

Del mismo estilo es The fantastic typing Cybermonkey. La página invita a los visitantes a reportar cualquier coincidencia entre las secuencias obtenidas y algún monólogo de Hamlet.

Claudio H. Sánchez tiene la amabilidad de compartir con los lectores de juegosdeingenio.org este capítulo de su futuro libro sobre la ciencia en Los Simpson.

13 comentarios Hacer un comentario

  • 1. Virginia  |  Oct 29 2010, 1:55 pm

    Muy interesante..Un saludo!!

  • 2. Juan Ignacio  |  Oct 29 2010, 3:59 pm

    Si mal no recuerdo, en el libro “La historia interminable” (o la historia sin fin) de Michael Ende, hay unos personajes que tiran un dado con las letras del alfabeto durante toda la eternidad y anotan el resultado. Se menciona luego que cada tanto tiempo forman una palabra o un verso, incluso poesías y obras completas.
    Estoy evocando a mi memoria, leí este libro hace muchos años, pero la idea era la misma.
    Genial.

  • 3. Claudio  |  Oct 29 2010, 5:44 pm

    Hay un cuento de Arthur C Clark “Los nueve mil millones de nombres de Dios” en el que un lama de un monasterio tibetano pide a un experto en informatica que programe una computadora para que genere los llamados “nueve mil millones de nombres de dios” ya que ellos lo estaban haciendo a mano durante tres siglos, pero a ese ritmo habían calculado que tardarían 15000 años en hacerlo. Una vez que la máquina genere losnombres la tarea de Diosy la del mundo terminarían. Así que la computadora genera las permutaciones de 9 letras desde AAAAAAAAA hasta ZZZZZZZZZ y …
    el cuento se puede leer en http://www.lamaquinadeltiempo.com/prosas/clarke01.htm

  • 4. hdur  |  Oct 29 2010, 6:22 pm

    En estricto rigor, se necesita más que un millón de monos para asegurar que se escribirán todas las obras de la Historia. Así como cada posible libro tiene una cantidad finita de caracteres, un millón de monos escribiendo en un millón de máquinas durante un millón de años escribirán una cantidad finita (enorme, pero finita) de caracteres.

    El infinito es la clave: para asegurar que se cumpla el teorema, incluso basta con un mono sólamente, pero que escriba durante una cantidad infinita de tiempo.

    Saludos.

  • 5. Claudio Sánchez  |  Oct 29 2010, 11:05 pm

    Correcto, hdur (#3), en realidad, quise poner “un millón de monos, aporreando un millón de máquinas de escribir durante un tiempo suficiente…”

    El tiempo no tiene porqué ser infinito porque, justamente, la cantidad de libros tampoco lo es.

  • 6. Pher  |  Oct 30 2010, 1:50 am

    Gracias, Claudio por el artículo. Es impactante la mención de que ese “tiempo suficiente” sería mayor que el transcurrido desde el Big Bang. Otro dato similar que leí en algún lado (a mi juicio más impactante porque lo espacial es más concreto que lo temporal) surge de hacer algunos cálculos tomando como dato el volumen de un libro tamaño estándar: para la totalidad de los libros de la biblioteca que Borges imaginó no habría espacio suficiente en el Universo conocido.

  • 7. Marcos  |  Oct 30 2010, 11:06 am

    Más allá del problema de generar las combinaciones, está el pequeño problema de seleccionar de entre todas esas combinaciones las que sean obras con sentido.

  • 8. Claudio Sánchez  |  Nov 4 2010, 5:45 pm

    #7. En “La biblioteca universal” el protagonista dice que entre los libros de esa biblioteca estará también su catálogo. Pero mezclado entre muchísimos catálogos incorrectos.

  • 9. Pedro  |  Nov 16 2010, 3:35 am

    Estuve leyendo los comentarios anteriores y veia que coincidian en un punto: “siendo finito el número de palabras que comprende un idioma, lo es asimismo el de sus combinaciones posibles o sea el de sus libros. ” Pero pienso que las combinaciones pueden llegar a ser infinitas dado a que los números son infinitos y por lo tanto los libros pueden tener diferente número de palabras y ésto haria que las cominaciones variaran de modo infinito.

  • 10. Claudio Sánchez  |  Nov 16 2010, 9:11 am

    #9: Sin embargo, un libro “razonable” no puede tener más que unos pocos miles de páginas. Eso le vuelve a poner un límite a la cantidad de libros distintos.

  • 11. Marcos  |  Nov 16 2010, 2:07 pm

    Algo curioso:

    Se podrían permitir libros con cualquier cantidad finita de caracteres, y de esos habría infinitos, aunque numerables.

    Pero si se permitieran libros con infinitos caracteres, ahí rebasaríamos el límite numerable: no se podrían enumerar. Y además tampoco se podrían acomodar en estanterías “normales” (aunque fueran infinitas).

  • 12. Picante  |  Nov 21 2010, 10:46 pm

    Esta buena la teoria, porque las letras y por ende las palabras y por ende los libros son finitos, pero alargar esta teoria a los numeros no se si se podria, ya que éstos se suponen que son infinitos, los monos podrian tipear por tiempo indefinido innumerables letras y numeros pero jamas podrian escribir todas las combinaciones de éstos.
    Que opinas al respecto Claudio?

  • 13. Claudio Sánchez  |  Nov 22 2010, 8:17 am

    Es correcto. Pero eso supone que puede haber libros de cualquier tamaño, lo que no es cierto: los libros normalmente tienen unos pocos cientos de páginas y, los más grandes, no más de unos miles.
    La objeción planteada equivale a decir que ningún libro podrá contener todos los números posibles, lo que es obvio.

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