El hijo del martes

Tengo dos hijos. Uno es un varón que nació un martes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

—Gary Foshee

Gary Foshee presentó este acertijo en uno de los encuentros por Martin Gardner. Es una ligerísima variante de un acertijo tradicional: «Tengo dos hijos. Uno es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?» ¿Cambia la respuesta al agregar ese dato irrelevante?

96 comentarios Hacer un comentario

  • 1. H  |  Sep 29 2010, 3:53 pm

    El acertijo tradicional es trivial:

    VV
    VM
    MV

    1/3

    En la variante tenemos:

    VmVm (1)
    VmV!m (6)
    V!mVm (6)
    VmM (7)
    MVm (7)

    13/27

    V = varon, M = mujer, m = nacido en martes, !m=no nacido en martes

  • 2. Emilio  |  Sep 30 2010, 8:27 am

    Yo lo veo de dos formas

    a) la probabilidad de que los dos sean hijos es la misma que la de que uno sea un hijo y otra una hija: 0,5 * 0,5 = 0,25 ¿Qué importa que nazca un martes o no?

    b) la forma “truco”—> dos HIJOS — AMBOS SON VARONES. 100% ya de probabilidad.

    c) incluso una tercera más enrevesada: los hijos/as YA HAN NACIDO, no hay probabilidad que valga (excepto la de el que quiera acertar si tiene hijo o hija :) )

    d) coño, incluso podría decirse: ¿y si ambos nacieron un martes y son gemelos? :), el hecho de que uno nazca un martes no dice que el otro no naciera ese mismo martes

    Bueno, supongo que la habré fastidiado, no? :)

  • 3. martin  |  Sep 30 2010, 9:10 pm

    Es engañoso pensar que el sexo del primer hijo afecta la probabilidad del sexo del segundo… veamos:

    -tengo un hijo, 50% de probabilidad varón, 50% probabilidad mujer.
    -tengo un segundo hijo: la probabilidad es exactamente la misma.

    Es como cuando uno tira una moneda. No importa si antes salió cara o cruz, en cada tirada la probabilidad es del 50%.

  • 4. H  |  Oct 1 2010, 1:53 am

    Martin, lo suyo estaria bien si dijera “el primero es varon”, pero no dice eso.

    Llamemos a los hijos A y B (para evitar zonceras sobre qué mellizo es mayor…)

    Hay 4 posibilidades: AV-BV, AV-BM, AM-BV, AM-BM, de esas 4 posibilidades solo en AM-BM es falso el enunciado “uno es varón”, por lo que quedan 3 posibilidades, entre ellas solo en AV-BV es verdadero “los dos son varones”.

    Por lo tanto la probabilidad es de un tercio.

    Para la variante de los nacidos en martes hay que considerar las posibilidades de sexo y dia de nacimiento. Las probabilidades individuales son:

    AVm: 1/2*1/7 = 1/14 (A varon nacido en martes)
    AV!m: 1/2*6/7 = 3/7 (A varon no nacido en martes)
    AM: 1/2 (A mujer)

    para B lo mismo

    Sean p = “uno es varon nacido en martes”, q = “los dos son varones”

    Las combinaciones son:

    AVmBVm: 1/14 * 1/14 = 1/196 (son verdaderos p y q)
    AVmBV!m: 1/14 * 3/7 = 3/98 = 6/196 (son verdaderos p y q)
    AVmBM: 1/14 * 1/2 = 1/28 = 7/196 (es verdadero p)
    AV!mBVm: 3/7 * 1/14 = 3/98 = 6/196 (son verdaderos p y q)
    AV!mBV!m: 3/7 * 3/7 = 9/49 = 36/196 (es verdadero q)
    AV!mBM: 3/7 * 1/2 = 3/14 = 42/196

    AMBVm = 1/2 * 1/14 = 1/28 = 7/196 (es verdadero p)
    AMBV!m = 1/2 * 3/7 = 3/14 = 42/196
    AMBM = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 49/196

    Sumando aquellos en los que p es verdadero tenemos P(p) = 1/196 + 6/196 + 7/196 + 6/196 + 7/196 = 27/196

    Tomando aquellos en los que tanto p como q son verdaderos tenemos P(p y q) = 1/196+6/196+1/196 = 13/196

    Asi, sabiendo que p es verdadera la probabilidad de q es P(p y q)/P(p) = (13/196) / (27/196) = 13/27

    En mi primer comentario mostraba esto mismo, obviando directamente los casos en los que p fuera falso.

  • 5. H  |  Oct 1 2010, 2:13 am

    Emilio, “la probabilidad de que los dos sean hijos es la misma que la de que uno sea un hijo y otra una hija: 0,5 * 0,5 = 0,25 “… Supongamos que eso sea verdadero, y que la probabilidad de que los dos sean hijas es equivalente a la de que sean hijos, tendriamos asi:

    - dos hijos: 0.25
    - un hijo y una hija: 0.25
    - dos hijas: 0.25

    Total: 0.75. Lo que significa que hay un 0.25 de probabilidad de que resulte una situacion que no hemos contemplado. Le parece?

    La probabilidad de tener un hijo y una hija es de 0.5. Hasta aqui una cuestion previa al problema. En el comentario anterior está el analisis del problema (en las dos variantes)

    b. Truco… los problemas originales son en inglés, si dijera que tiene “two sons” seria obvia la respuesta.

    c. claro que los hijos han nacido. Pero la probabilidad no trata solo de sucesos futuros, sino de aquellos de los que se tiene informacion parcial. Cuando usted tiene cartas en la mano, la probabilidad de que tenga una carta dada sabiendo lo que sabe usted (que las ve) es distinta que la probabilidad de que tenga esa misma carta sabiendo lo que se yo (que veo mis cartas y las que se hayan jugado)

    d. es irrelevante lo de que sean gemelos, salvo al momento de resolverlo pensando en “hijo mayor”, “hijo menor” y salir con pavadas acerca de cual gemelo es mayor :)

  • 6. Ivan  |  Oct 1 2010, 2:25 am

    La clave, naturalmente, está en la segunda frase. El problema clásico dice:

    (1) Uno es varón.

    El problema de Gary Foshee dice:

    (2) Uno es un varón que nació un martes.

    ¿Qué pasa con estas variantes?

    (3) Uno es varón que nació el mismo día que yo.
    (4) Uno es varón y en este papel escribo, en secreto, el día de la semana en que nació.
    (5) Uno es varón y nació cierto día de la semana.

    ¿Y con estas otras?

    (6) Uno es varón y nació en febrero.
    (7) Uno es varón y nació un 29 de febrero.
    (8) Uno es varón y es pelirrojo.

  • 7. Emilio  |  Oct 1 2010, 3:36 am

    vuelvo a la carga :)

    si uno es YA un varón… el problema ¿se reduciría a cuál es la probabilidad de que el siguiente sea varón o hembra?… o sea: 0,5 de probabilidad, no?

    En fin… qué empanada.

    Suerte!

  • 8. H  |  Oct 1 2010, 4:22 am

    3. La probabilidad de nacer “el mismo dia que X” es 1/7, asi q es el mismo caso q el martes.
    4. Lo mismo, la probabilidad de nacer “el dia que dice en el papel” es 1/7
    5. No se si entiendo cual es el sentido de “nació cierto día de la semana”, pero como lo entiendo diría que es igual (es equivalente a “escribirlo en la mente”)

    6. Similar, cambiando el 1/7 por la probabilidad de nacer en febrero (que podemos aproximar en 28/365)
    7. Similar, aproximando con 1/1461.

    8. Entre 1/3 y 1/2 (tiende a 1/3 cuando la probabilidad de ser pelirrojo tiende a 1, tiende a 1/2 cuando la probabilidad de ser pelirrojo tiende a 0)

    En realidad… en los puntos 6 a 8 estoy partiendo de que la probabilidad de nacer en febrero -o ser pelirrojo- es independiente de la probabilidad de tener un hermano nacido ese mes -o con ese pelo-, lo que en ninguno de los dos casos es correcto (es normal que en las familias los nacimientos se den siempre en los mismos meses, y los colores de pelo los da la genetica), tambien estoy suponiendo que los nacimientos tienen una distribucion uniforme dentro del año, por lo que tiene sentido aproximar con 28/365; no conozco las estadisticas pero supongo que tampoco es correcto.

    Volviendo al punto de largada, y pensando en el 4… Por qué agregar un dato “irrelevante” me hace cambiar la probabilidad? Más aún, por qué informar la existencia de un dato que no solo es irrelevante sino que es obvio, sin informar el dato, cambia la probabilidad? En el 4, es obvio que el hijo nació un día X de la semana y no nos dicen cual día es, eso nos cambia la probabilidad de todos modos.

  • 9. H  |  Oct 1 2010, 4:28 am

    Emilio, no. Estás agregando un orden que no existe en el problema.

    Si queres podemos reformular el planteo asi: “tengo dos hijos, A y B; A es varón o B es varón; cual es la probabilidad de que A sea varón y B sea varón?”

    Si te dijeran “tengo dos hijos, A y B; A es varón; cual es la probabilidad de que A sea varón y B sea varón?” tendria sentido lo que dices.

    Ya lo escribi varias veces, pero piensa las posibilidades:

    A varon, B varon *
    A varon, B mujer *
    A mujer, B varon *
    A mujer, B mujer

    Los que tienen la estrella son los casos en los que la afirmacion “uno de mis hijos es varon”, hay 3 posibilidades en los que la frase es verdadera, y de esas 3 en solo una es verdadero que “ambos son varones”

    Se entiende?

    Prueba tirar dos monedas, anota cuantas caras salen. Hazlo muchas veces. Tacha las anotaciones que dicen “0 caras” (no tiene hijos varones), fijate cuantas veces has anotado 1 y cuantas veces has anotado 2. Aproximadamente tendras el doble de 1s que de 2s.

  • 10. H  |  Oct 1 2010, 5:27 am

    En http://www.decisionsciencenews.com/2010/05/28/tuesdays-child-is-full-of-probability-puzzles/ se discutia esto mismo, con argumentos muy interesantes que permiten dar resultados distintos a los que planteo yo.

    Pero trabajan con un sentido estadistico de las probabilidades, para ellos no se trata de esta familia en particular sino de como se eligio esta familia.

    The mistake almost everybody makes, is that this question is not about Mr. Smith. Probability is a property of a random process, not of a single instance of one – like Mr. Smith. This question is about the random process that brought Mr. Smith’s family to our attention. To solve it, we need to know what that process for everyone, not just Mr. Smith. As stated, it is ambiguous, because it does not tell us what that process is. The problem’s solution is controversial, because different people make different assumptions to resolve the ambiguity, usually without even realizing it.

    Here’s the indisputable – because it is also ambiguous – solution to problem #1: Let 0<=B<=1 be the probability that a randomly selected father of a boy and a girl would tell you about the boy instead of the girl. Call that event – that he tells you this fact, not that the fact itself is true – ALOB, for “at least one boy.” Using the definition of conditional probability:

    P(BB|ALOB) = P(BB and ALOB)/P(ALOB)
    = [1*P(BB)] / [1*P(BB) + B*P(BG) + B*P(GB) + 0*P(GG)] = (1/4)/(1/4 + B/4 + B/4) = 1/(1+2*B)

    So, if B=1, then P(BB|ALOB)=1/3. If B=1/2, then P(BB|ALOB)=1/2.

    B=1 corresponds to a process where every father of two is required to tell us about boys before girls. This requirement is not something you can deduce from what Mr. Smith told you, it is an arbitrary assumption. I personally feel that B=1/2 is the best value to use, for the exact same reason that we say the probability a child is a boy is 1/2. When there are N symmetric outcomes for some part of the random process in a puzzle, we must assign the probability 1/N to each. Since this puzzle gave no reason why a man with two daughters would not say “at least one is a girl,” we have to consider that response as a possibility for the PROCESS, but maybe not for this particular Mr. Smith. Since it is symmetric with “one is a boy” for a BG family, in my opinion we have to assume B=1/2, not B=1.

    La pregunta es si consideramos el enunciado como un filtro (“del conjunto de familias de dos hijos con al menos un hijo varon cuantas tienen dos?”) o si consideramos el proceso que lleva al padre a decir lo del hijo (“se toma al azar un padre de dos hijos, se le pide que indique el sexo de uno de sus hijos, dice que tiene un hijo varón, qué probabilidad hay de que tenga dos hijos varones?”)

    Pasado a monedas, los problemas serian:

    - se tiran dos monedas, si no sale ninguna cara se vuelve a tirar, cuando haya salido alguna cara, que probabilidad hay de que haya dos caras?

    - se tiran dos monedas, se mira una, es cara, qué probabilidad hay de que haya dos caras?

    La respuesta al primer problema es 1/3 (y a su extensión 13/27), la respuesta al segundo es 1/2 (y a su extension es tambien 1/2)

    Dice la wikipedia:

    Gardner initially gave the answer 1/3 but later acknowledged that the question was ambiguous. Its answer could be 1/2, depending on how you found out that one child was a boy. The ambiguity, depending on the exact wording and possible assumptions, was confirmed by Bar-Hillel and Falk,[3] and Nickerson.[4]

    ….

    Thus, if it is assumed that both children were considered, the answer to question 2 is 1/3. In this case the critical assumption is how Mr. Smith’s family was selected and how the statement was formed. One possibility is that families with two girls were excluded in which case the answer is 1/3. The other possibility is that the family was selected randomly and then a true statement was made about the family and if there had been two girls in the Smith family, the statement would have been made that “at least one is a girl”. If the Smith family were selected as in the latter case, the answer to question 2 is 1/2.

    The second question is often posed in a way that leave multiple interpretations open. In response to reader criticism of the question posed in 1959, Gardner agreed that a precise formulation of the question is critical to getting different answers for question 1 and 2. Specifically, Gardner argued that a “failure to specify the randomizing procedure” could lead readers to interpret the question in two distinct ways:

    From all families with two children, at least one of whom is a boy, a family is chosen at random. This would yield the answer of 1/3.
    From all families with two children, one child is selected at random, and the sex of that child is specified. This would yield an answer of 1/2.[3][4]

    Grinstead and Snell argue that the question is ambiguous in much the same way Gardner did.[14]. Similarly, Nickerson argues that it is easy to construct scenarios in which the answer is 1/2 by making assumptions about whether Mr. Smith is more likely to be met in public with a son or a daughter.[4] Central to the debate of ambiguity, Nickerson says:

    Bar-Hillel and Falk (1982) point out that the conclusion [that the probability is 1/3] is justified only if another unstated assumption is made, namely that the family not only is a member of the subset of two-child families that have at least one boy but that it is a randomly selected member of that subset, which is tantamount to assuming that all members of this subset [that is, the three members BB, BG, and GB] are equally likely to be represented on the street by a father and son. But this assumption would be reasonable only in a land where fathers who had a son and a daughter would walk only with the son.

  • 11. Juan Luis  |  Oct 1 2010, 3:15 pm

    Cuesta creer que el hecho de que haya nacido en martes modifique la probabilidad, pero es cierto que en el problema inicial también la probabilidad era no del todo intuitiva.

    Por otro lado, ¡qué bien que vuelva este blog!

    Saludos cordiales.

  • 12. Rodolfo  |  Oct 2 2010, 4:06 pm

    Desde luego, vuelves con fuerzas renovadas. ¡Tendré que pensar esto del martes con mucho cuidado! Un saludo, Iván.

  • 13. Nico  |  Oct 3 2010, 7:54 pm

    Con mucho respeto por la dedicación que algunos le han dado al post, estoy seguro de que este problema está escrito como un “cazabobos”, que ha estimulado la simpatía que uno puede sentir por el método de la probabilidad analítica, llevando a resultados erróneos. Asumiendo que el sexo de dos hermanos es un fenómeno independiente, conocido el sexo masculino de uno, la probabilidad de que que ambos sean varones se reduce a la probabilidad de que un recien nacido sea varon, la cual en esta discusión se ha asumido 1/2 (es un poco menor en realidad porque hay más mujeres que hombres en el mundo). El dato del martes es, como el enunciado capciosamente nos aclara, irrelevante (a menos que conderemos probabilidades no uniformemente distribuidas entre los dias de la semana en gemelos o alguna patraña así), y el problema resulta isomorfo al de la probabilidad de que dos monedas sean cara cuando al menos una es cara. Algunos análisis que he leído me han recordado al tipo que siempre volaba con una bomba en la valija por seguridad porque, si bien la probabilidad de que haya una bomba en un avión es bajísima, que haya dos es directamente ínfima. Saludos!!

  • 14. Emilio  |  Oct 4 2010, 8:32 am

    dicho de otro modo:

    “no tengo ningún hijo, este martes nacerá mi primer hijo: ¿qué probabilidad tengo de que sea varón?

    no?

    :)

  • 15. Claudio Sánchez  |  Oct 4 2010, 8:46 am

    A mí no me convence ninguna respuesta. Por un lado el razonamiento que conduce a 13/27 parece correcto.

    Pero, por otro, si la información adicional fuera “uno es varón y nació entre las 10:00 y las 11:00 de la mañana” habría que hacer otro recuento de casos donde hay 1 caso para esa hora y 23 para cualquiera otra, lo que conduciría a otro valor de probabilidad.

    No entiendo cómo alguna información puntual “irrelevante” sobre un hijo cambia la probabilidad.

    Aclaro que no leí totalmente el texto en inglés.

  • 16. Nico  |  Oct 4 2010, 10:02 am

    Claro, Emilio! En realidad, que yo haya tenido, o vaya a tener en un futuro posterior a este nacimiento, otro hijo, no modifica la distribución de probabilidades que se aplica a este nacimiento. Y si el enunciado me ha dicho que el otro es varón, pues ya está, ahí está la respuesta: en términos probabilísticos, el enunciado “a y b son varones” se hace idéntico al de “b nacerá varón” si nuestra certeza es sobre a, o visceversa, y por lo tanto se les aplica la misma distribución.

  • 17. A.  |  Oct 7 2010, 3:29 am

    Tiene dos hijos. Uno es varón. ¿Qué probabilidades hay de que ambos sean varones? 50% de probabilidades, porque el segundo puede ser varón o puede ser mujer, hasta donde se no hay un tercer sexo, y el dato del día martes es, tal como dice el enunciado, totalmente irrelevante, ¿por qué analizarlo? Creo que no tiene tanta vuelta..

  • 18. Bernardo  |  Oct 8 2010, 7:46 am

    Pues yo tambien estoy totalmente de acuerdo con Nico y otros. Es lo que pense nada mas verlo, pero visto lo que ponian algunos…aun alucino.

  • 19. Marcos  |  Oct 8 2010, 10:54 am

    Excelente problema.

    Algunas diferencias de criterio que he leído en los comentarios son rastreables hasta un problema muy común: que distintas personas, dependiendo de lo que hayan estudiado, tienen distintas concepciones de lo que significa la probabilidad.

    Si se planteara el problema incluyendo una u otra interpretación de “probabilidad”, la respuesta sería común para todos.

    Ejemplo: se podría hacer un planteo “múltiples mundos”:

    De todos los mundos posibles selecciono aquellos en que tengo dos vástagos y al menos uno de ellos es varón y nació un martes. ¿En qué proporción de estos mundos posibles el otro es varón?

    Creo que así planteado el problema da menos polémico.

    Saludos,
    Marcos

  • 20. alberto  |  Oct 8 2010, 7:51 pm

    En resumen, el hecho de que existan dos opciones no implica que las dos tengan la misma probabilidad.
    Al estudiar este problema se tiene que tener claro que cosas son igualmente probables y caules no. En este caso, lo igualmente probable es que cada hijo tiene la misma probabilidad de ser varón (V) que hembra (H).
    Ahora, de todas las personas del mundo que tienen dos hijos ¿en que proporcion tienen un varon o dos?. La respuesta es que de estas personas solo un tercio tiene dos varones: entre ellas existen el doble de personas con solo un hijo que de personas con dos. ¿porque? por que el primer hijo puede ser V o H a partes iguales, el segundo también, y esto da las cuatro posibilidad VV VH HV y HH a partes iguales estadisgticamente. El dato de tener al menos un hijo lo que hace es eliminar la posibilidad HH, de modo que nos coloca en la pobalción VV VH y HV con la misma posibilidad en cada uno de los tres casos. Por tanto, la probabilidad de que sean los dos varones es de 1/3.

  • 21. Oscar Zurita  |  Oct 9 2010, 2:33 am

    Oscar (Buenos Aires) Si el 100% lo constituye dos hijos varones, el que uno ya lo sea no da el 50%, a lo que debería adicionarse la mitad de las posibilades del que desconocemos, un 25% más, por lo cual, la posibilidad total de que ambos sean varones es de un 75%.

  • 22. Emilio  |  Oct 11 2010, 7:28 am

    Vamos a ver, señores/as:

    Ha quedado demostrado que es 50%. No le demos más vueltas.

    El enunciado lo dice muy muy claro: “¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?”

    El primero YA es varón, punto. Además lo mató un camión el lunes 12/10/2008, ok?

    Ahora su mujer se queda embarazada y le preguntamos: -¿Cual es la probabilidad de que tu hijo se varón?
    - Pues la misma de que sea hembra, señor.

    El suceso anterior NO guarda relación con el siguiente, simplemente es un dato de partida que define única y exclusivamente el cómo será la respuesta.

    “Tengo un perro que nació en martes, me viene un niño a nacer pronto ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?”

    En fin… no sé si está claro o no :)

  • 23. Claudio Sánchez  |  Oct 11 2010, 9:29 am

    A Emilio: tu demostración supone que el varón al que se refiere el enunciado es el primer hijo, cosa que el enunciado no dice. Por otra parte, ¿cuál es el error en el recuento de casos del primer comentario?

  • 24. Claudio Sánchez  |  Oct 11 2010, 9:36 am

    Otra forma de plantearlo (y van…):

    Tengo dos hijos. Uno es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos lo sean?

    Luego de unos minutos, el calculista responde: 1/3.

    Entonces el primero agrega: Me olvidé de aclararle que el varón del que le hablé nació un martes. ¿Mantiene su respuesta?

    Donde dice “nació un martes” se puede cambiar por cualquier otra observación, como las que indica Iván en #6.

  • 25. carolina  |  Oct 11 2010, 2:51 pm

    dice que tiene 2 hijOs por lo tanto los dos son varones

  • 26. nataly  |  Oct 11 2010, 11:16 pm

    carolina: cuando uno a veces dice que tiene dos hijos no se refiere a que los dos sean varones por ejemplo mi madre cuando habla con alguien dice si si tengo dos hijo, sin embargo yo que soy la menor mi hermano es hombre y yo mujer, asi que yo creo que el otro sea un varon.

  • 27. Rodrigo  |  Oct 12 2010, 3:20 pm

    Yo voto por un 50%.

    Tanto para el enunciado subordinado:

    “Tengo dos hijos. Uno es un varón que nació un martes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?”

    como para el original:

    «Tengo dos hijos. Uno es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?»

    la mitad del problema está resuelto, ya que SABEMOS que uno de los hijos es varón, por lo que la opción del Mujer-Mujer está descartado.

    Nuestro universo son sólo las posibilidades H-M y H-H, de las cuales sólo depende si el segundo nació hombre o mujer. Y como sólo hay dos alternativas, la respuesta es un 50%.

  • 28. Claudio Sánchez  |  Oct 13 2010, 12:40 am

    #27 Rodrigo: son tres los casos a considerar:

    * El primero es varón y el segundo, mujer.
    * El primero es mujer y el segundo, varón.
    * Los dos son varones.

    Si los tres casos son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ambos sean varones es un tercio.

  • 29. Emilio  |  Oct 14 2010, 7:52 am

    claudio sanchez:

    tu primera opción y la segunda son LA MISMA a efectos del enunciado… (no hay mención al orden de nacimiento y es, por tanto, irrelevante al igual que la fecha en la que nacen ambos o alguno)

    suerte!

  • 30. Claudio Sánchez  |  Oct 14 2010, 8:35 am

    Emilio: justamente, como no se indica el orden, hay que tomar en cuenta los dos casos.
    Tiro una moneda dos veces. Una de las veces sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra también sea cara? Hacé el experimento y medí la probabilidad.

  • 31. Emilio  |  Oct 15 2010, 8:31 am

    No, no: son EL MISMO caso ambos (a efectos de probabilidades).

    Por reducción al absurdo: TENGO 10.000 HIJOS VARONES, todos nacieron en martes, voy a tener un hijo más… cual es la probabilidad de que sea tambien varón?

    Según tu razonamiento… sería una probabilidad bajísima 1/10.000… pero será o bien niño o bien niña: al 50%. Los sucesos pasados (en este problema) no condicionan el suceso futuro.

    Ya no sé explicarme mejor, ¿alguien puede hacerlo? Gracias!

  • 32. H  |  Oct 15 2010, 9:33 am

    Emilio, te explicas perfectamente. Pero no atiendes a la objecion que se te plantea. Y te pierdes la gracia del problema. Agregas un dato (que es que el padre habla de “este hijo”) que subsume al dato adicional del martes (la informacion “irrelevante” de “nacido en martes” lo que hace es aumentar la probabilidad de que hable de un hijo en particular, si tu lo das por seguro deja de servir)

    Existe una interpretacion del problema que da como resultado 1/2, pero no es la que planteas, sino que considera la probabilidad de que el padre haya podido decir “tengo una hija” (plantea un proceso en el que se elige primero uno de los hijos y se indican caracteristicas de ese hijo; la alternativa es plantear una pregunta que actue como filtro, que es la que hace interesante la variante propuesta)

    Te propongo un experimento, toma dos monedas, tiralas, mientras salgan dos cecas sigues tirando. Anota cuantas veces salen dos caras y cuantas una cara y una ceca. Te dara 1/3.

    Lo que dices tu equivale a tirar dos monedas, elegir una, fijarse si es cara y si no volver a tirar, sin importar que la otra moneda pueda ser cara. En ese caso sí la probabilidad da 1/2.

    En tu ejemplo de los 10.000 hijos replanteado como “tengo 10.001 hijos, 10.000 son varones, cual es la probabilidad de que los 10.001 sean varones” podria ser mujer la mayor, la segunda, la tercera, … la 10.001sima, son 10.001 casos en los que hay una mujer y solo 1 en que son todos varones, por lo que la probabilidad es de 1/10.002, no de 1/2. Si dijera “los 10.000 mayores son varones” seria 1/2, pero dejaria de tener gracia el juego.

  • 33. alberto  |  Oct 15 2010, 10:52 am

    100%

    Tengo dos hijos.
    Ya esta implicito que son varones.

  • 34. Abel  |  Oct 18 2010, 8:30 am

    ¡ Cuántas vueltas le da el personal a algo tan obvio !

    La respuesta es 50% obviamente, y no voy a decir el porqué, puesto que ya lo han dicho.

    Para aquellos que todavía no lo creen así voy a lanzar otro enunciado y así lo verán:

    He lanzado una moneda 5 veces y he apuntado sus resultados.
    De las 5 veces, independientemente del orden, te informo de que me han salido 4 caras.
    ¿Qué probabilidad hay de que hayan sido 5 caras?

    La respuesta obviamente es 50%

    Y que nadie venga con el cuento de que la probabilidad es (1/2)^5 porque esa sería la respuesta correcta si no conocieses el resultado de ninguna de las 5 tiradas.

  • 35. Emilio  |  Oct 18 2010, 9:53 am

    no, no: no podrían ser “mujer la mayor, la segunda, la tercera, … la 10.001sima,” ya que SON VARONES por definición (igual que en el enunciado).

    Ya (YA) han nacido y YA son varones… ¿Cuál es la probabilidad de que sean todos varones? 1/2.

    Vamos, que de ahí ya sólo nos queda enredar el asunto… replica tú y lo zanjamos, ok?

    Un saludo y gracias por tu atención.

    Suerte!

  • 36. Claudio Sánchez  |  Oct 18 2010, 10:07 am

    Emilio: en tu nuevo ejemplo (el de los 10000) cometés el mismo error. Al decir que vas a tener “un hijo más” te referís al sexo del próximo hijo, el número 10001. En el problema original no se dice que el nacido el martes es el primero.

  • 37. Claudio Sánchez  |  Oct 18 2010, 10:09 am

    Para definirlo de una vez:

    Versión A (la de Emilio): Tengo dos hijos. El primero es varón. Probabilidad de que ambos lo sean -> 1/2

    Versión B: (equivalente a la anterior): Tengo dos hijos. El menor es varón. Probabilidad de que ambos lo sean -> 1/2

    Versión C (la del problema): Tengo dos hijos. Uno es varón. Probabilidad de que ambos lo sean -> 1/3

  • 38. Emilio  |  Oct 19 2010, 9:47 am

    ATENCIÓN: GRACIAS A LA EXPLICACIÓN anterior “C” HE VISTO LA LUZ !!

    la probabilidad es, efectivamente, 1/3 !!

    La pregunta “trampa” es simplemente: ¿Qué probabilidades hay de tener dos hijos varones? No es la que yo planteaba “tengo YA un hijo varón, qué probabilidades tengo de que ambos sean varones (yo lo traducía a –> qué probabilidades tengo de que el SIGUIENTE sea varón (1/2) ?

    Estaba totalmente equivocado y he caído en el caza bobos !!! :) :) :)

    Gracias Claudio por tu paciencia y didáctica.

    Un saludo desde Sevilla (España)!

  • 39. H  |  Oct 19 2010, 10:18 am

    Abel, depende del procedimiento. Si el “salieron 4 caras” es indicar el valor de las 4 primeras monedas que miras, tienes razón, si es filtrar los resultados donde hayan salido al menos 4 caras, no la tienes.

    He hecho la prueba (con 2 monedas, con 5 es mucho trabajo) y 100 tiradas, resultados:

    Dos caras, 26 veces
    Dos cecas, 31 veces
    Una y una, 42 veces

    La probabilidad en este conjunto de que hayan salido dos caras sabiendo que salio al menos una es 26/(26+42) = .38, que esta bastante cerca del .33 al que se acercaria mas haciendo mas intentos.

  • 40. H  |  Oct 19 2010, 10:19 am

    Claudio, queda pendiente la pregunta original: ¿por qué agregar un dato “irrelevante” nos da información?

    Te le animas?

  • 41. Emilio  |  Oct 20 2010, 5:10 am

    joder,
    hoy me he levantado y me veo de nuevo en 1/2…. lo siento, claudio :)

    ¿alguien más para dirimir esto??

    Yo creo que hay dos modos de interpretar la SITUACIÓN planteada:

    1) La respuesta de 1/3 sería la respuesta a “cuál es la probabilidad de tener dos varones?”

    Sin embargo uno YA ha nacido…

    2) la probabilidad de que ambos sean varones se reduce a qué sexo tiene el OTRO hijo… y da ahí mi 1/2.

    Es decir, que “la probabilidad de que ambos sean varones” se puede interpretar (Claudio) por “qué probabilidad tiene una persona de tener dos varones” o (y en esto pido “ayuda” :) ) en que “si ya tengo un varón, cual es la posibilidad de que me salga un varon y así tener dos varones?”.

    Según mi punto de vista:

    - pase lo que pase siempre voy a tener un hijo varon (probabilidad 1, por lo que NO cuenta para el total) y otro NO lo sé aún (puede ser hembra/varon: 1/2).

    DIgamos que lo que yo planteo es:

    1- Cual es la posibilidad de tener un varón ?
    - señor: 1/2.

    -Pues bien: tenlo y pase lo que pase, el segundo va a ser varón… CUAL ES LA POSIBILIDAD DE QUE SEAN AMBOS VARONES?

    -ya que es seguro que el siguiente va a ser varón… pues 1/2.

    Siento la dubitación… pero qué le voy a hacer, hoy me he levantado así? :) :) :)

    Gracias por la atención.

  • 42. Claudio Sánchez  |  Oct 20 2010, 6:36 pm

    Emilio: es que los dos ya nacieron. No es que nació uno y estamos hablando del sexo del por nacer. Vale la comprobación experimental de H, con monedas.

  • 43. Claudio Sánchez  |  Oct 20 2010, 6:38 pm

    A H: es que no sé si esa información sirve para algo. Tu planteo que conduce al 13/27 parece lógico. Pero si la información adicional fuera de otro tipo (como plantea Iván en #6) se llega a otras probabilidades, lo que no tiene sentido.

  • 44. Miguel  |  Oct 21 2010, 3:37 am

    La probabilidad es 1/3. Veamos el análisis que lleva a 13/27.

    “VmVm (1)
    VmV!m (6)
    V!mVm (6)
    VmM (7)
    MVm (7)

    13/27

    V = varon, M = mujer, m = nacido en martes, !m=no nacido en martes”

    Lo primero que se me ocurre es algo obvio que nadie menciona: 13/27 está muy próximo a 1/2. Si esto es así el nuevo dato cambia la probabilidad brutalmente. Es algo muy raro. Por otra parte, con las variantes, los cálculos darían resultados diferentes. Para peor, encontrando un predicado al que le asignemos probabilidad 1/2, como “nació entre las 0 y las 12″ la probabilidad de cada caso sería 1/5 y por lo tanto la probabilidad de que los dos fueran varones sería 3/5, si el análisis fuera correcto. De manera que el análisis que lleva a 13/27 está desencaminado, porque el agregado de una cosa como “y cuando nació tiré una moneda y salió cara” no puede cambiarme la probabilidad. Me parece que es obvio dónde está el error. Las mujeres no se dividen en los casos “nació en martes” y su complemento. Si se hiciera eso, que sería lo correcto, aparecerían doce casos más, y la probabilidad sería 13/52, que es, para alivio de todos, 1/3.

  • 45. H  |  Oct 21 2010, 4:42 am

    Miguel, el error obvio no es tal. No aparecen 12 casos mas, sino que los 14 casos:

    VmM (7)
    MVm(7)

    se desdoblan en

    VmMm (1)
    VmM!m (6)
    MmVm (1)
    M!mVm (6)

    y sigue dando 13/27.

    13/27 se parece mucho mas a 1/2 que a 1/3 porque 1/7 se parece mucho mas a 0 que a 1.

    La probabilidad de que “los dos hijos sean varones” sabiendo que “al menos un hijo sea varon y cumpla x” va a estar siempre entre 1/3 y 1/2.

    La probabilidad de x va a determinar en que posicion del intervalo va a estar el resultado (cuanto menos probable x, mas cerca de 1/2, cuanto mas probable mas cerca de 1/3)

    Dos notas:

    - para discutir la variante hay que dar por bueno que el mecanismo por el que el padre hace la afirmacion es equivalente a que se le pregunte si la afirmacion es verdad, en el caso de que elija un hijo y de datos sobre ese hijo la probabilidad es 1/2 para el problema sin variante y no tiene sentido estudiar la variante porque tambien da 1/2 (es el caso con el que insistia Emilio)

    - no es exactamente la probabilidad de x lo que importa, sino una leve variante. Piensese en el caso “tengo al menos un hijo varon que es el mayor”, la probabilidad de ser el mayor es 1/2, pero el valor que corresponde usar es 0.

    En el caso de “nacio entre las 0 y las 12″ los casos serian: (sea Vm varon matutino)

    VmVm (1)
    VmV!m (1)
    V!mVm (1)

    VmM (2)
    MVm (2)

    y queda 3/7, no el irrazonable 3/5.

  • 46. Miguel  |  Oct 21 2010, 4:44 am

    Lo que acabo de escribir del análisis anterior no es correcto. El conteo de los casos en que nacen mujeres es coherente. Sin `poder decir dónde está el error, por ahora digo que si la semana fuera de una cantidad de días diferente la probabilidad daría diferente, lo que es absurdo. Me parece que hay un problema con el artículo indefinido. “Uno” es equivalente a “al menos uno” en el problema tradicional, pero en la variante del martes, queda identificado. Supongamos que dijera “Juan es varón”. Quedaría
    J V
    V J
    M J
    J M
    y la probabilidad 1/2
    porque en este caso, “que los dos sean varones” es equivalente a “que el otro sea varón”. El análisis anterior, el de los 13/27 debe tener DOS casos de dos varones nacidos en martes, según que el varón del que estoy hablando haya nacido primero o segundo. Si se agrega, la probabilidad da 14/28 o sea 1/2. Si no se acepta esto, y se dice “al menos uno es varón y nació en martes”, no se deben distinguir los casos VmV!m y V!mVm porque sobre los varones no corresponde la dicotomía de quién nace primero ya que eso equivale a tenerlo identificado al que nace el martes con respecto a otros varones, y no se está en ese caso. Es simplemente el caso de dos varones, con uno que no nace el martes. Hecho así el análisis, volvemos a 1/3.

  • 47. H  |  Oct 21 2010, 4:52 am

    Claudio, no entiendo lo de “de otro tipo”, si el dato que da es distinto la probabilidad cambia, eso deberia ser obvio (dando por supuesto que la variante y el original difieran, o cambia segun el dato o es siempre 1/3)

    Si te referis a los planteos del tipo “nacio un dia que anoté en este papel pero no te digo”, una vez que entendamos por qué el dato “irrelevante” abierto nos sirve, resulta bastante sencillo entender por qué el dato cerrado también sirve.

  • 48. H  |  Oct 21 2010, 4:59 am

    >> Sin `poder decir dónde está el error, por ahora digo que si la semana fuera de una cantidad de días diferente la probabilidad daría diferente, lo que es absurdo

    Miguel, por que consideras absurdo que la probabilidad cambie con la cantidad de dias de la semana? A mi me resultaria absurdo que no cambie.

    >> “Uno” es equivalente a “al menos uno” en el problema tradicional, pero en la variante del martes, queda identificado.

    No, no queda identificado, no está hablando de Juan, está hablando de “al menos uno”. La “pregunta” es “tiene usted al menos un hijo varon nacido en martes?” -sí; si lo convertimos en:

    - tiene usted al menos un hijo varon?
    -si
    -que dia nació?
    -martes

    estariamos mezclando metodos (para el sexo usamos el mecanismo que da 1/3 en el caso original, para el dia de nacimiento el que da 1/2; ambos son razonables, pero no podemos mezclar)

    >> El análisis anterior, el de los 13/27 debe tener DOS casos de dos varones nacidos en martes, según que el varón del que estoy hablando haya nacido primero o segundo

    No, el hijo en cuestion no está todavia identificado. Si dijera Juan, si, pero dice “uno” (que debe leerse como “al menos uno” siempre o como “este” siempre, pero si lo leemos como “este” el resultado del original es 1/2)

  • 49. Emilio  |  Oct 21 2010, 5:25 am

    “¿cuál es la posibilidad de que tenga (nacidos o no) dos hijos varones sabiendo que uno SIEMPRE será varón pase lo que pase?

    1/2.

  • 50. Claudio Sánchez  |  Oct 21 2010, 8:32 am

    A H (#47). Lo que me extraña es que si digo

    “Uno es varón y nació un martes”

    la probabilidad se que ambos sean varones resulte distinta a

    “Uno es varón y nació en febrero”

    No veo cómo la información adicional agrega algo al cálculo de probabilidades. Cómo dije en #24:

    Tengo dos hijos. Uno es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos lo sean? Luego de unos minutos, respondemos: 1/3.

    Entonces nos dicen: Me olvidé de aclararle que el varón del que le hablé nació un martes. ¿Mantiene su respuesta?

    ¿Mantenemos la respuesta? ¿Por qué no habríamos de hacerlo?

  • 51. H  |  Oct 21 2010, 1:49 pm

    No, no mantengo la respuesta, pasa a ser 1/2. “El varon del que le hable” es equivalente a decir “el mayor”. Y una vez que el “al menos un hijo es …” a “un hijo en particular es …” vale el razonamiento de Emilio.

    Los datos “irrelevantes” nos llevan del “al menos un hijo es varon” (1/3) al “este hijo” (1/2) Segun cual sea el dato “irrelevante” nos llevara mas o menos cerca del “este hijo”

  • 52. Claudio Sánchez  |  Oct 21 2010, 4:39 pm

    ¿Por qué “El varon del que le hable” es equivalente a decir “el mayor”? No veo la relación entre un dato y el otro.

  • 53. Claudio Sánchez  |  Oct 21 2010, 5:00 pm

    Por ejemplo, tiro dos monedas. Una de las dos sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas lo sean? Luego agrego: la que salió cara es…

    …redonda
    …o de bronce
    …o fuera de circulación
    …o de 50 centavos

    Todo esto no implica que la otra no lo sea también (redonda, de bronce, etc.). ¿Cómo se modifica la probabilidad en cada caso?

  • 54. H  |  Oct 21 2010, 6:15 pm

    Claudio, la misma temporalidad de quienes decian “este ya nacio” la estas agregando entre los dos datos.

    El mecanismo no es: tiro dos monedas, veo que una sea cara, agrego un dato sobre esa; es: tomo dos monedas de una bolsa, las tiro, me fijo si salio alguna que sea “de bronce y cara”…

    Como llegamos a la declaracion del padre? Podria ser por cualquiera destos casos:

    1.- “elija un hijo, digame su sexo y dia de nacimiento” -varon, martes (resultado 1/2)
    2.- “tiene usted un hijo varon?” -si -digame su dia de nacimiento -martes (resultado 1/3)
    3.- “tiene usted un hijo nacido en martes?” -si -digame su sexo – varon (resultado 1/2)
    4.- “tiene usted un hijo varon nacido en martes?” -si (resultado 13/27)

    El primer caso ya lo hemos descartado en comentarios anteriores. El segundo es el que estas planteando. El cuarto es el que planteo yo.

    Los casos segundo y tercero imponen una jerarquia entre los dos datos. No veo que haya nada en el enunciado que permita imponer tal jerarquia, Ni menos aun algo que permita elegir una de las dos jerarquias. Qué hace que el sexo lo utilizemos como filtro y el dia de nacimiento no, en vez de hacerlo al reves? Una decision apriori de que el dia de nacimiento es irrelevante?

  • 55. H  |  Oct 21 2010, 6:26 pm

    “El varon del que le hable” es equivalente a decir “el mayor” (o “Juan”) porque habla de un hijo en particular, y por lo tanto la probabilidad de que los dos sean varones es equivalente a la probabilidad de que el otro (“el menor” o “el que no es Juan”) sea varon, 1/2. En este caso es casi correcto decir “este ya nacio!” (o mas correctamente “de este ya sabemos que es varon, hay que mirar q pasa con el otro”)

    Incluso esto:

    - al menos uno de mis hijos es varon

    - el hijo del que le hable… no, nada

    Nos cambiaria la probabilidad de 1/3 a 1/2.

    “Al menos uno de mis hijos es varon y nacido en martes” puede referirse a cualquiera de los dos.

  • 56. Claudio Sánchez  |  Oct 22 2010, 12:05 am

    Como dije en mi primer post, tu razonamiento es impecable. Pero sigue resultándome difícil de creer cómo el “dato irrelevante” cambia la probabilidad. No entiendo qué información “relevante” aporta.

    Especialmente tu última variante (la de “no, nada”) que está muy bien planteada para demostrar (aunque sin convencerme todavía) que una información irrelevante (una no-información, en este caso) resulta ser muy relevante.

  • 57. Claudio Sánchez  |  Oct 22 2010, 12:20 am

    H: creo que coincido en que tu caso 2 (del post #54) es el que yo planteo: primero información sobre el sexo, luego la del día de nacimiento.

    ¿La probabilidad en ese caso es 1/3, como ponés ahí?

  • 58. Miguel  |  Oct 22 2010, 2:14 am

    Sigo creyendo que lo que dije en mi último post es correcto. Seún una intepretación, la probabilidad es 0,5; según la otra, es 1/3. Pero más allá de eso, me preguntaban por qué me parecía absurdo que al cambiar el número de de días de la semana cambie la probabilidad. Supongamos que el dato agregado “m” fuera tal que diera lugar a este esquema, por tener a negaciones “distintas” posibles.

    VmVm (1)
    VmV!m (a)
    V!mVm (a)
    VmM (a+1)
    MVm (a+1)

    con lo que tendríamos que la probabilidad es (2a+1)/(4a+3). Evidentemente, puedo elegir m de tal manera que la probabilidad sea tan próxima a 1/2 como lo desee, simplemente informando cuál de los a+1 números de una ruleta imaginaria salió ese día, con a suficientemente grande. Supongamos que el padre nos dice: “En la ruleta de dos números salió el 1 el día que nació”. La probabilidad que le asignamos entonces es 3/7. Entonces nos dice: “Ay, perdona, me equivoqué. Fue en la lotería de un millón de números números que salió el dos ese día”. Y ahí debemos saltar a asignarle una probabilidad muy cercana a 1/2 porque el señor nos aclara que equivocó la ruleta referida y nos dio una información absolutamente independiente de lo que nos interesa, cuando nostros ya sabíamos que en la lotería había salido algún número, y saber cuál fue no nos aporta nada para el caso. O sea, no recibimos información genuina y cambiamos la probabilidad. Eso es absurdo. Aparte de eso, lo que dije al principio. Tomado de un modo, es 1/3; de otro, 1/2. En el último post dice:

    4.- “tiene usted un hijo varon nacido en martes?” -si (resultado 13/27)

    No es 13/27. Supongamos que el hombre tiene dos hijos, A y B, uno de ellos varón nacido un martes.
    La probablidad de que ambos sean varones es -dado que sabemos que uno lo es- 1/3. De que ambos hayan nacido en martes 1/13. O sea de que ambos sean varones y hayan nacido en martes es 1/39. (es demencial suponer que el sexo y el día del nacimiento son sucesos dependientes).
    La probabilidad de que hayan nacido en diferente día es 12/13, y de que ambos sean varones nacidos en diferente día de la semana es 12/39. Por lo tanto la probabilidad de que ambos sean varones es la probabilidad de que ambos sean varones y hayan nacido en el mismo día de la semana más la probabilidad de que ambos sean varones y hayan nacido en diferente día de la semana, que da 1/3.

  • 59. Emilio  |  Oct 22 2010, 8:27 am

    Vamos a ver:

    1) tengo una piedra y un descendiente: ¿cuál es la probabilidad de tener un hijo varón?… ESTAMOS DE ACUERDO QUE ES 1/2, no?

    2) tengo un hijo varón cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea varón? ESTAMOS DE ACUERDO QUE ES 1/2, no?

    conclusión de 2)… si el “otro hijo es varón” sucede (1/2) lleva, sin posibilidad de error, a que OBLIGATORIAMENTE (probabilidad 1) A-M-B-O-S sean varones.

    1/2

  • 60. H  |  Oct 22 2010, 9:08 am

    Claudio, me equivoque al formular el caso 2. Tal como yo lo formulo el resultado es 1/2, igual que en el caso 4. No se me ocurre forma de plantear el proceso para que de el 1/3 pero el argumento que lleva a 1/3 es usar el sexo como filtro y el dia de nacimiento como dato secundario.

    Miguel, su mensaje es muy largo y estoy atareado para ponerme a revisar sus numeros, despues le contesto. Sobre la negacion a asignar distintas probabilidades dependiendo de que tipo de “no-informacion” recibamos, piense el caso del “no, nada” del comentario 55. Una vez que el padre deja de hablar del conjunto de hijos y pasa a hablar de un hijo en particular, la probabilidad pasa del 1/3 a 1/2 (porque llegamos al caso que plantea Emilio, “este hijo es varon”, por lo tanto los dos son varones en el caso de que el otro sea varon, y la probabilidad de que sea varon es 1/2) Decir que “tengo al menos un hijo varon y nacido en martes” es una afirmacion sobre el conjunto, no sobre un hijo en particular, pero difiere de “tengo al menos un hijo varon” en que cambia los conjuntos sobre los que calcular las probabilidades.

    Emilio, estamos de acuerdo con sus puntos 1 y 2. Pero al decir “el otro hijo” esta transformando el “al menos uno” en “este”; con lo que cambia totalmente el problema. Al afirmar “al menos un hijo varon” se habla del conjunto, al afirmar “este hijo es varon” se habla de uno en particular (en cuyo caso, claramente el resultado es 1/2, pero estamos hablando de un problema distinto al planteado)

  • 61. Claudio Sánchez  |  Oct 22 2010, 11:51 am

    Se me ocurrió la siguiente modelización: tengo una bolsa con 10000 monedas, la mitad doradas y la mitad plateadas. Saco dos y las tiro. Luego digo: hay una que es dorada y salió cara ¿cuál es la probabilidad de que ambas hayan salido cara?

    Empiezo con 10000 monedas para que la probabilidad de sacar una dorada sea 1/2 para las dos monedas (en realidad, cambia ligeramente con la segunda moneda).

    Hecho el recuento, hay 16 casosposibles. De esos hay 12 en que una es cara y 4 en que lo son las dos. Esto coincide con el problema clásico en que la probabilidad de dos varones sabiendo que uno lo es es igual 1/3.

    Hay 7 casos en que hay una moneda dorada y en cara. De esos, 3 tienen dos caras. De modo que la probabilidad de que ambas sean caras, sabiendo el dato “irrelevante” de que una, además de cara es dorada, es igual a 3/7. Esto coincide con el análisis anterior de H para el caso “tengo dos hijos, uno es varón y nació de mañana”.

  • 62. Claudio Sánchez  |  Oct 22 2010, 11:56 am

    Supongamos que alguien nos dice: “tengo dos hijos. Uno es varón. Mire: es ese que viene ahí”. Si entiendo el análisis de H, al decir “es ése que viene ahí” la probabilidad pasa de 1/3 a 1/2 porque estamos individualizando a uno.

    Pero, cuando me dice “uno es varón” yo puedo imaginar que anda por algún lado, me lo señale o no. También puede ser que, cuando el chico aparezca el tipo me diga “me equivoqué, no es él”. En cualquier caso, no me está dando ninguna información. En el primer caso, porque es “irrelevante” y en el segundo, porque es incorrecta.

    Creo que esta variante se resuelve porque la probabilidad de que se cumpla “es ese que viene ahí”, si admitimos la posibilidad de que esté equivocado, es 1. Por lo que la probabilidad total no se mueve de 1/3 a 1/2.

    Este análisis me deja la duda sobre el caso “el varón de que le hablé… no, nada”. ¿Mueve esta “no información” el resultado de 1/3 1/2?

  • 63. H  |  Oct 22 2010, 4:05 pm

    Claudio, no estoy de acuerdo, cuando dice “es ese que viene ahi”, la probabilidad pasa a 1/2, no porque ese que viene sea el hijo sino porque determina que el padre está hablando de uno en particular.

    Cuando aparece el no-hijo y el padre se rectifica la probabilidad sigue siendo de 1/2, ya sabemos que el padre se referia a uno de sus hijos y no a “al menos uno”

  • 64. H  |  Oct 22 2010, 4:11 pm

    Claudio, muy bueno lo de las monedas (aunque deberia usar dos bolsas, para no tener los problemas de diferencia de probabilidad entre las dos monedas y con 4 monedas por bolsa -o dados de 4 caras- le alcanza, sin necesitar las 10.000)

    Ahora, siendo que “es plateada” es un dato irrelevante para saber si las dos monedas salen cara, por qué ese dato nos cambia la probabilidad de 1/3 a 3/7?

    Si quiere olvidemonos por un rato del asunto de los hijos (tan dado a problemas de interpretacion) y centremonos en este caso, en el que estamos de acuerdo.

    Por que una informacion irrelevante como “plateada” nos afecta la probabilidad de sacar dos caras? si en vez de dos colores tuvieramos tres, cambiaria la probabilidad?

  • 65. H  |  Oct 22 2010, 4:24 pm

    >> Pero, cuando me dice “uno es varón” yo puedo imaginar que anda por algún lado, me lo señale o no

    Cuando le dice “(al menos) uno es varon” usted puede imaginar lo que quiera, pero no significa que el padre hablara de uno en particular.

  • 66. Claudio Sánchez  |  Oct 22 2010, 4:52 pm

    #64: Justamente, el recuento de casos es irrefutable. Pero sigue chocando al sentido común la relevancia del tipo de moneda.

  • 67. H  |  Oct 22 2010, 10:44 pm

    La probabilidad tiene la costumbre de chocar al sentido comun no educado, una vez que nos educamos nuestro sentido pasa a alinearse mejor con lo que dicen las cuentas.

    El sentido comun nos lleva a pensar que el problema original debe dar 1/2 (“tengo una piedra y un hijo…”) Si sabemos algo de probabilidad la explicacion de que debe dar 1/3 nos resulta suficientemente natural. En el caso de la moneda plateada el sentido matematico “parcialmente educado” nos inclina a pensar que el color de la moneda es irrelevante pero las cuentas demuestran que nuestro sentido comun esta haciendo algo mal.

    Para educar nuestro sentido no nos alcanza con mostrarle las cuentas, sino que nos exige un por qué que haga razonable el hecho de que un dato “irrelevante” nos de informacion. Esa es la pregunta interesante. Yo tengo un atisbo de respuesta que me es suficiente para convencer a mi sentido matematico, pero no soy todavia capaz de expresarlo verbalmente de forma clara.

    Algo asi como “cuanto mas dificil de cumplir sea la afirmacion por ambos hijos a la vez mas cerca, la probabilidad de que la afirmacion se aplique a uno solo de los hijos y no a ambos crece. Si la afirmacion se aplica a solo uno de los hijos, la probabilidad de que ambos sean varones es equivalente a la probabilidad de que el otro hijo lo sea -1/2-, cuanto mas probable sea que la afirmacion se aplique a solo uno de los hijos mas cercana a 1/2 sera la probabilidad de que ambos sean varones”

    Esa explicacion -mal expresada y todo- me es suficiente para aceptar que un dato irrelevante pueda cambiar la probabilidad buscada. Alguien se anima a corregirla?

    En el caso del “el hijo del que le hable… no, nada”, el padre informa que habló de un hijo en particular, por lo tanto la afirmacion no se aplica al conjunto sino a uno solo de los hijos, por lo tanto la probabilidad de que ambos sean varones es igual a la probabilidad de que el otro sea varon, 1/2.

  • 68. H  |  Oct 22 2010, 10:46 pm

    En la explicacion quedo un “mas cerca” de un intento previo de formularla, que no tiene sentido. Disculpe.

  • 69. H  |  Oct 23 2010, 7:16 pm

    Miguel, creo que encontre el problema con sus cuentas.

    La afirmacion “al menos un hijo es varon y nacido en martes”, su razonamiento es valido para “al menos un hijo es varon y al menos un hijo es nacido en martes”, está considerando como compatible con la afirmacion el caso en el que hay un hijo varon no nacido en martes y una hija nacida en martes, lo que hace al denominador 39 en vez de 27.

    Consideremos los casos:

    A:

    VmVm, 1
    VmV!m, 6
    V!mVm, 6

    Son los 13 casos en los que la afirmacion es valida y hay dos varones.

    B:

    VmM, 7
    MVm, 7

    Son los 14 casos donde la afirmacion es valida y no hay dos varones

    C:

    V!mMm, 6
    MV!m, 6

    Son 12 casos donde es verdad que “al menos uno de los hijos es varon” y “al menos uno de los hijos es nacido en martes” pero no es verdad que “al menos uno de los hijos es varon nacido en martes”

    La probabilidad de que haya dos varones dado que “al menos uno de los hijos es varon nacido en martes” es A/(A+B) = 13/27.

    La probabilidad de que haya dos varones dado que “al menos uno de los hijos es varon” y “al menos uno de los hijos es nacido en martes” es A/(A+B+C) = 13/39 = 1/3, como resulta de sus cuentas, pero esta resolviendo un problema distinto al planteado.

  • 70. Emilio  |  Oct 26 2010, 7:31 am

    Si una moneda es cara/cara
    y otra moneda es cara/cruz…

    ¿cual es la probabilidad de sacar dos caras sabiendo que la tirada de la moneda cara/cara la hago en martes?

    yo sigo diciendo 1/2… (lo siento, claudio, por mi “volatilidad” :) :) :) )

    Suerte!

  • 71. Diego  |  Oct 29 2010, 9:22 am

    Para mi las probabilidades son:

    Que Ambos sean Gemelos Varones.
    Que Ambos sean Mellizos Varones.

  • 72. Daniel  |  Oct 31 2010, 4:31 am

    el tema de las monedas que planteó abel en el 34 se resuelve con el teorema de bayes: P(todas sean caras)/P(todos los casos posibles)
    Numerador: (1/2)^5
    Denominador: (1/2)^5+ 5C1*(1/2)^5
    =(1/32)/(6/32)=1/6
    P(que todas sean caras sabiendo que salieron 4)= 1/6 no 1/2

  • 73. Emilio  |  Nov 4 2010, 4:43 am

    ¿entonces, en qué quedamos? 1/6, 1/3, 1/2?

    saludos!

  • 74. H  |  Nov 5 2010, 9:04 am

    Emilio, depende para q problema, para el de las dos monedas (o los dos hijos), 1/3, para el de las 5 monedas 1/6, para el del hijo del martes 13/27.

    Para los de los hijos planteados de forma distinta (elija un hijo y dia algo sobre el), 1/2.

  • 75. esteban  |  Nov 8 2010, 6:08 am

    Hola a todos…soy nuevo aca! Muy buena pagina!
    Lei los comentarios y son muchas cuentas para mi jaja…

    Pero me puse a mirar la frase detenidamente y para mi la probabilidad es de un 100%!

    “…que nació un martes”

    Para mi Gary agrego eso para diferenciar de alguna forma sus dos hijos varones…el segundo no nació un martes pero da a entender que es varon.

    Ejemplo:

    Tengo dos hijos. Uno es un varón que nació un martes, y el otro nacio un Jueves. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?
    No te lleva la frase al genero femenino!

    Esta bueno esto! No estoy seguro al 100% de mi respuesta, por eso voy a ver que se sigue escribiendo para hallar la solucion.

    Quien escribio esa frase aca? Esa persona va a decir quien de todos dio la respuesta correcta o mas acertada? Esa persona sabe la solución?

    Esa persona, nacio un Martes?

    Jajaja Saludos a todos!!!

  • 76. Mr.Green  |  Nov 22 2010, 9:43 am

    Ta bueno……=)

  • 77. antonio crespo  |  Dec 10 2010, 2:12 pm

    Si supieramos que los dos son varones tendriamos el 100% de probabilidad.Pero sólo sabemos que uno de ellos lo es.Por lo tanto tenemos el 50% del que seguro es varón y el 25% del que no sabemos que sexo tiene.
    El 75% probabilidad total de que los dos sean varones.
    No sé si me habré explicado bien.Pero no sé hacerlo con fórmulas.
    Un saludo.

  • 78. Rodolfo Fuenzalida  |  Dec 12 2010, 4:12 pm

    Hola, LA RESPUESTA ES 13/27 (así H tiene razón).
    ¿Cómo llegamos a esto?
    Lo primero, es que hay que interpretar apropiadamente la pregunta ( lo cual han intentado hacer pero sin mucho éxito). Y TODO GIRA EN TORNO A LA CUESTIÓN DEL DÍA MARTES. No es un dato irrelevante sino que determinante de la respuesta.

    Hagamos una lista con todas las posibilidades igualmente probables de hijos, junto a los días de la semana en que se puede nacer. Al hijo Varón nacido el día Martes vamos a llamar VMa. Las situaciones posibles son:

    a) Cuando el primer hijo es un VMa y el segundo es una mujer nacida cualquier día de la semana: hay siete posibilidades diferentes.
    b) Cuando el primer hijo es una mujer nacida cualquier día de la semana y el segundo es un Vma: nuevamente hay siete posibilidades diferentes.
    c) Cuando el primer hijo es un VMa y el segundo es un varón nacido cualquier día de la semana: nuevamente hay siete posibilidades diferentes.
    d) Finalmente, existe la situación en la cual el primer hijo es un varón nacido cualquier día de la semana y el segundo es un VMa (y aquí está lo interesante). Aquí también hay siete posibilidades diferentes, pero una de ellas – cuando ambos hijos nacen un día martes – ya ha sido contada cuando consideró que el primer hijo es un VMa y el segundo nacido cualquier día de la semana (c). Entonces, puesto que estamos contando posibilidades igualmente probables, podemos encontrar solamente seis posibilidades adicionales aquí.

    Sumando los totales, hay 7 + 7 + 7 + 6 = 27 diferentes combinaciones igualmente probables de hijos con géneros y días de nacimiento específicos, y 13 de estas combinaciones incluyen a dos varones como hijos. Así que la respuesta es 13/27.
    Como verán es muy distinto a 1/3 que es la respuesta común que se da al no considerar el “dato irrelevante” que en realidad es “determinante”.

    Fíjense que, es notable que la probabilidad de tener dos hijos varones cambia de 1/3 a 13/27 cuando se indica como “dato” el día de nacimiento de un varón.

    Es extraño verdad… pero también divertido. Jejjeje.

  • 79. Lautaro  |  Dec 14 2010, 12:37 am

    Simplemente es mujer porque, el dice que uno de ellos es varon, el otro es mujer…….

  • 80. Martin  |  Jan 15 2011, 1:50 am

    La probabilidad es de 7 en 7.

  • 81. ivan  |  Jan 20 2011, 2:50 am

    la forma en que lo resolvío H sep 29 2010, es exactamente como lo haría un matemático. Sin embargo son eventos independientes, y no tienen relevancia el uno hacia el otro, como dice martín sep 30 2010, pero la biología ha demostrado que la probabilidad de que se engendre una mujer es mayor a la de un hombre. por lo tanto la pregunta no tiene sentido ya que se basa en la suposición de igual probabilidad para los dos eventos posibles.

  • 82. Carl  |  Jan 21 2011, 8:46 pm

    la respuesta es 50% que es la probabilidad de que el segundo hijo sea varon o mujer. El error en el calculo de 13/27 es que para calcular la probabilidad de un hecho se toman las posibles ocurrencias de ese hecho divididas todas las ocurrencias posibles. el hecho de que el primer hijo no nazca un martes no es un hecho posible porque el primero nació un martes por lo tanto los casos posibles son varon nacido en martes y varon más varon nacido en martes y mujer ( un caso posible sobre dos totales). Como alguien dijo antes, son sucesos independientes y el sexo del primer hijo no afecta la probabilidad del sexo del segundo del segundo.

  • 83. santiago  |  Apr 11 2011, 1:40 am

    las combinaciones geneticas se dan en un 50% mujer y 50% hombre

    entre XX y XY resultan:
    XX (mujer)
    XY (varon)
    XX (mujer)
    XY (varon)

    el dato que nace un martes no afecta en nada al problema, solo es un patron para desnaturalizar la pregunta

  • 84. rodrigo spinozzi  |  Apr 11 2011, 9:27 pm

    el ya nos ha dicho que tenía un hijo, sin embargo, puede que sea solo una tonta impresión mía, pero , ¿acaso no da lo mismo qué día haya nacido? de la misma manera que nació el martes, pudo haber nacido un viernes, jueves, u otras 4 posibilidades más.
    sin embargo, al aclararnos en qué día nació, hipotéticamente, bien puede estar diferenciando a su segundo hijo varón, que haya nacido en cualquiera de las otras posibilidades.
    “un hijo varón que nació el martes, y otro varón que nació el lunes”
    por ende, la probabilidad de ambos sean varones, es mucho mayor (quizás 90 a 10% o 100%) que la probabilidad de que sean varón y mujer.
    tampoco habría que olvidar que sendos hijos ya nacieron.

  • 85. alejandro  |  Apr 28 2011, 10:51 pm

    despues de leer los 84 comentario me llamaron la atencion dos comentario simplistas e inentendibles que increiblemente fueron sucesivos y de dos mujeres.

    25. carolina | Oct 11 2010, 2:51 pm

    dice que tiene 2 hijOs por lo tanto los dos son varones

    26. nataly | Oct 11 2010, 11:16 pm

    carolina: cuando uno a veces dice que tiene dos hijos no se refiere a que los dos sean varones por ejemplo mi madre cuando habla con alguien dice si si tengo dos hijo, sin embargo yo que soy la menor mi hermano es hombre y yo mujer, asi que yo creo que el otro sea un varon.

    Que probabilidades hay de que vuelva a pasar esto?

  • 86. Micael  |  May 13 2011, 12:38 am

    En comentarios anteriores se ha dicho que pueda haber una “trampa” en que poner HIJOS provoque pensar que esa palabra indique que ya los dos sean varones. HIJOS es la expresión utilizada por el escritor que da a entender que son mas de uno, fuere o no VARON – VARON, VARON – MUJER o MUJER – VARON. Si la palabra expresada es HIJAS, en este caso se puede decir que ambos hijos son de sexo femenino. La expresión de una palabra en MASCULINO cuando se habla pluralmente sobre personas, no indica que el sexo de las mismas sea masculino.

    RESPUESTA AL ACERTIJO:
    Algo simple, la fecha de nacimiento del hijo varón no modifica el sexo del próximo hijo; tampoco que un hijo sea varón quiere decir que el otro puede no serlo. Por lo tanto, a mi parecer, la probabilidad es de 50% que el otro hijo fuera hombre.
    Algo sencillo si pensás un poco.

  • 87. MANOLO  |  Jun 4 2011, 3:34 am

    son los dos varones ya que al principio te dice que tiene dos hijos

  • 88. Silvia  |  Jun 13 2011, 7:49 pm

    La probabilidad que ambos sean varones es nula ya que está diciendo que UNO ES VARON, entiendo que la palabra martes como día de nacimiento es capciosa y confunde.

  • 89. José  |  Jul 12 2011, 2:23 pm

    El universo a analizar es el de 2 vastagos, de los cuales sabemos con certeza que 1 es varon por lo que el segundo tiene un 50% de probabilidades de serlo, por lo tanto
    Hijo conocido 50%
    otro hijo 25% varon 25% mujer
    la probabilidad de que ambos sean varones es del 75%
    El dia de la semana solo sirve para distraer la atencion

  • 90. clara  |  Aug 26 2011, 7:57 pm

    Queridos amigos, leí sus comentarios y solo quiero responder uno, el de alejandro 85. Pocas mujeres opinamos, porque mientras tenemos a una H o un M en el vientre, trabajamos, atendemos el hogar y, si nos da el tiempo (como hoy a mi) leemos este acertijo donde, dándosenos fácil la respuesta…tenemos que ver el tiempo que algunos de estos hombres gastaron para pensarla y todavía discutir el tema. Saludos.

  • 91. omeroH  |  Oct 3 2011, 9:43 pm

    Hay cero posibilidades de que el otro sea varon ya que afirma que “uno es varon” entonces el otro hijo es mujer…

  • 92. Claudio Sánchez  |  Oct 5 2011, 3:21 pm

    Hoy, en Página/12, Adrián Paenza comentó este problema:
    http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-178241-2011-10-05.html

  • 93. sara  |  Oct 26 2011, 9:04 am

    Es una sexta parte

  • 94. circunspecta  |  Jan 12 2012, 10:13 am

    Coincido plenamente con el comentario nº1 de H.
    El enunciado nos indica que tiene (en presente) dos hijos y nos informa de que uno de ellos es un varón y que ha nacido en martes. Analicemos todas las posibilidades con estas premisas:

    Día 1º Sexo 1º Día 2º Sexo 2º
    lunes Hombre Martes Hombre
    martes Hombre Lunes Hombre
    martes Hombre Martes Hombre
    martes Hombre Miércoles Hombre
    martes Hombre Jueves Hombre
    martes Hombre Viernes Hombre
    martes Hombre Sábado Hombre
    martes Hombre Domingo Hombre
    miércoles Hombre Martes Hombre
    jueves Hombre Martes Hombre
    viernes Hombre Martes Hombre
    Sábado Hombre Martes Hombre
    Domingo Hombre Martes Hombre
    martes Hombre Lunes Mujer
    martes Hombre Martes Mujer
    martes Hombre Miércoles Mujer
    martes Hombre Jueves Mujer
    martes Hombre Viernes Mujer
    martes Hombre Sábado Mujer
    martes Hombre Domingo Mujer
    lunes Mujer Martes Hombre
    martes Mujer Martes Hombre
    miércoles Mujer Martes Hombre
    jueves Mujer Martes Hombre
    viernes Mujer Martes Hombre
    Sábado Mujer Martes Hombre
    Domingo Mujer Martes Hombre

    Son 27 las posibilidades, de las cuales 13 corresponden a dos varones y por tanto por las que nos preguntan : 13/27

  • 95. albert  |  Jan 22 2012, 5:15 am

    la probabilidad es cero
    analicemos la frase
    1.- “tengo dos hijos” (esta hablando en plural)
    2.- “Uno es un varón que nació un martes” (el día en que nació es irrelevante y ya nos dijo que uno de sus hijos es varón, por lo que el otro de sus hijos es hembra)

  • 96. Andres Esteban Perez (Blood)  |  Aug 16 2012, 12:55 am

    Yo creo que la frase

    Uno es un varón que nació un martes.

    es un despiste,¿ porque?
    Porque la pregunta es:
    ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

    solo necesitamos saber quien es varon, entonces las probabilidades de Vm -Vm donde V=varon
    m=nacido en martes,
    no se utilizaran ya que podemos ahorrar y nos dara la misma respuesta la cual es:

    un hijo es Varon, entonces tenemos que calcular solo la probabilidad del segundo Varon ya que la probabilidad de que una persona sea un Hombre o Mujer es de 50%,

    Tengo dos hijos. Uno es un varón que nació un martes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?

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